每日一题[2106]四通八达

当函数 $f(x)=\dfrac{ax^3-x^2+4a}{{\rm e}^x-1}$ 的图象经过的象限个数最多时,实数 $a$ 的取值范围_______.

答案  $\left(0,\dfrac 13\right)$.

解析    按 $a$ 的正负讨论.

情形一    $a>0$.此时\[\begin{array}{c|cccc}\hline x\to& -\infty&0^-&0^+&+\infty\\ \hline f(x)\to &+\infty&-\infty&+\infty&+0\\ \hline \end{array}\] 因此函数 $f(x)$ 的图象必然过第二、三象限.考虑函数 $g(x)=ax^3-x^2+4a$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点情况,方程\[ax^3-x^2+4a=0\iff a=x+\dfrac 4{x^2}=\dfrac 1a,\]而\[x+\dfrac 4{x^2}=\dfrac x2+\dfrac x2+\dfrac 4{x^2}\geqslant 3,\]等号当 $x=2$ 时取得,从而当 $a\in\left(0,\dfrac 13\right)$ 时,$g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点;当 $a=\dfrac 13$ 时,函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点 $x=2$;当 $a\in\left(\dfrac13,+\infty\right)$ 时,函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有零点.因此当 $a\in\left(0,\dfrac 13\right)$ 时,$f(x)$ 的图象经过四个象限.

情形二     $a=0$.此时 $f(x)=\dfrac{-x^2}{{\rm e}^x-1}$ 只经过第二、四象限.

情形三     $a<0$.此时\[\begin{array}{c|cccc}\hline x\to& -\infty&0^-&0^+&+\infty\\ \hline f(x)\to &-\infty&+\infty&-\infty&-0\\ \hline \end{array}\]且当 $x>0$ 时,有\[ax^3-x^2+4a<0,\]于是函数 $f(x)$ 的图象在第二、三、四象限.

综上所述实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 13\right)$.

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