每日一题[2107]复杂旋转体

如图,矩形 $ABCD$ 中,$AB=3$,$BC=4$,以 $BD$ 所在的直线为轴将此矩形旋转一周,则所得旋转体的表面积为_______,体积为_______.

答案    表面积为 $\dfrac{3501}{160}\pi$,体积为 $\dfrac{4269}{320}\pi$.

解析    如图,将 $\triangle BAD$ 沿 $BD$ 翻折到与 $\triangle BCD$ 在同一侧,$AD$ 与 $BC$ 交于点 $E$,题中所得的旋转体即折线 $BAECD$ 绕 $BD$ 旋转得到的.

设 $A,E,C$ 在 $BD$ 上的投影分别为 $A_1,E_1,C_1$,以 $B$ 点为原点,$BD$ 方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系,可得 $A(\left(\dfrac{12}5,\dfrac{9}5\right)$,$C\left(\dfrac{12}5,\dfrac{16}5\right)$,$E\left(\dfrac{15}8,\dfrac 52\right)$,$DE=\dfrac{25}8$.因此所得旋转体的表面积为\[(\pi\cdot AA_1\cdot BA+\pi\cdot AA_1\cdot DA-\pi\cdot EE_1\cdot DE)\cdot 2=\dfrac{3501}{160}\pi.\]体积为\[\left(\dfrac 13\pi\cdot AA_1^2\cdot BA_1+\dfrac 13\pi\cdot AA_1^2\cdot DA_1-\dfrac 13\pi\cdot EE_1^2\cdot DE_1\right)\cdot 2=\dfrac{4269}{320}\pi.\]

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