在各内角都相等的八边形 $CAROLINE$ 中，$CA=RO=LI=NE=\sqrt 2$，且 $AR=OL=IN=EC=1$．八边形 $CORNELIA$ 围成 $6$ 个没有重叠部分的三角形区域，设这 $6$ 个区域之和的最简分数表示为 $\dfrac ab$，则 $a+b=$_______．
已知 $b$ 是小于 $1000$ 的正整数，且在 $b$ 进制下 $36$ 是一个平方数且 $27$ 是一个立方数，则所有满足条件的 $b$ 之和为_______．
答案 $371$
解析 根据题意，存在正整数 $j,k$ 使得\[\begin{cases} 3b+6=j^2,\\ 2b+7=k^3,\end{cases}\]由于 $3b+6$ 是 $3$ 的倍数且为完全平方数，因此 $9\mid 3b+6$，于是 $b\equiv 1\pmod 3$．又完全立方数模 $9$ 的余数为 $0,1,8$，因此\[2b+7\equiv 0,1,8\pmod 9\iff b\equiv 1,6,5\equiv 9,\]综上可得 $b\equiv 1\pmod 9$．因此 $k^3=2b+7$ 是 $9$ 的奇数倍，因此 $k$ 是 $3$ 的奇数倍．考虑到 $b<1000$，于是 $k=3,9$，经验证有\[(k,j,b)=(3,6,10),(9,33,361),\]因此所求和为 $ 10+361=371$．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=2$，$a_1=5$，$a_2=8$，$a_n$ 为 $4\left(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}\right)$ 除以 $11$ 的余数，则 $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}=$ ______．
设 $a,b,c,d,e,f>0$，且满足 $abcdef=1$，求证：\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant 6.\]
已知 $ABCDEF$ 是各内角相等的六边形，$AB=6$，$BC=8$，$CD=10$，$DE=12$．设 $d$ 是包含于该六边形的最大的圆的直径，则 $d^2=$ _______．
设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$_______．
对于任意的正实数 $a,b,c$，且 $a+b+c=3$，求证：\[\dfrac {a}{b^3+2}+\dfrac{b}{c^3+2}+\dfrac{c}{a^3+2}>\dfrac 56.\]
在三棱锥 $P-ABC$ 中，底面 $ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，且 $AB=2$，$PA=PC=\sqrt 5$，$PB$ 与底面 $ABC$ 所成的角的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$，则三棱锥 $P-ABC$ 的外接球的半径为_______．
一个标准的正方体骰子被投掷 $4$ 次，投掷出的数字的乘积恰为完全平方数的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
锐角三角形 $ABC$ 中，$P,Q$ 分别为 $C,B$ 在对边上的投影，直线 $PQ$ 交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $X,Y$．设 $XP=10$，$PQ=25$，$QY=15$，则 $AB\cdot AC=$ _______．
