已知 $\omega\in\mathbb R$，函数 $f(x)=(x-6)^2\cdot \sin(\omega x)$，存在常数 $a\in\mathbb R $，使得 $f(x+a)$ 为偶函数，则 $\omega$ 的可能值为（ ）
A．$\dfrac{\pi}2$
B．$\dfrac{\pi}3$
C．$\dfrac{\pi}4$
D．$\dfrac{\pi}5$
已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，离心率为 $\dfrac{2\sqrt 5}5$，且 $|BF|=\sqrt 5$．
1、求椭圆的方程．
2、直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$．过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$．若 $MP\parallel BF$，求直线 $l$ 的方程．
如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E,F$ 分别为棱 $BC,CD$ 的中点．
1、求证：$D_1F\parallel A_1EC_1$．
2、求直线 $AC_1$ 与平面 $A_1EC_1$ 所成角的正弦值．
3、求二面角 $A-A_1C_1-E$ 的正弦值．
在边长为 $1$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 为线段 $BC$ 上的动点，$DE\perp AB$ 且交 $AB$ 于点 $E$，$DF\parallel AB$ 且交 $AC$ 于点 $F$，则 $\left|2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\right|$ 的值为_______；$\left(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}\right)\cdot \overrightarrow{DA}$ 的最小值为_______．
设 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\begin{cases} \cos (2\pi x-2\pi a),&x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5,&x\geqslant a,\end{cases}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恰有 $6$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$
B．$\left(\dfrac 74,2\right]\cup \left(\dfrac 52,\dfrac{11}4\right]$
C．$\left(2,\dfrac 94\right]\cup \left[\dfrac{11}{4},3\right)$
D．$\left(\dfrac 74,2\right)\cup \left[\dfrac{11}4,3\right)$
设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$，函数 $f(x)=a^{x}-b x+\mathrm{e}^{2}(x \in \mathbb{R})$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若对任意 $b>2 \mathrm{e}^{2}$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．
3、当 $a=\mathrm{e}$ 时，证明：对任意 $b>\mathrm{e}^{4}$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_1<x_2$），满足\[x_{2}>\frac{b \ln b}{2 \mathrm{e}^{2}} x_{1}+\frac{\mathrm{e}^{2}}{b}.\] 注：$\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数．
如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|M F|=2$．
1、求抛物线的方程．
2、设过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $M A, M B, A B, x$ 轴依次交于点 $P, Q, R, N$，且满足 $|R N|^{2}=|P N| \cdot|Q N|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，$\angle A B C=120^{\circ}$，$ A B=1$，$B C=4$，$P A=\sqrt{15}$，$M, N$ 分别为 $B C, P C$ 的中点，$P D \perp D C$，$P M \perp M D$．
1、证明：$A B \perp P M$．
2、求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}$（$n \in \mathbb{N}^{*}$）．记数列 $ \left\{a_{n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n}$，则（ ）
A．$\dfrac{3}{2}<S_{100}<3$
B．$3<S_{100}<4$
C．$4<S_{100}<\dfrac{9}{2}$
D．$\dfrac{9}{2}<S_{100}<5$
已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于 $\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值是（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$2$
D．$3$
