每日一题[2189]保平方与保立方

已知 $b$ 是小于 $1000$ 的正整数,且在 $b$ 进制下 $36$ 是一个平方数且 $27$ 是一个立方数,则所有满足条件的 $b$ 之和为_______.

答案    $371$

解析    根据题意,存在正整数 $j,k$ 使得\[\begin{cases} 3b+6=j^2,\\ 2b+7=k^3,\end{cases}\]由于 $3b+6$ 是 $3$ 的倍数且为完全平方数,因此 $9\mid 3b+6$,于是 $b\equiv 1\pmod 3$.又完全立方数模 $9$ 的余数为 $0,1,8$,因此\[2b+7\equiv 0,1,8\pmod 9\iff b\equiv 1,6,5\equiv 9,\]综上可得 $b\equiv 1\pmod 9$.因此 $k^3=2b+7$ 是 $9$ 的奇数倍,因此 $k$ 是 $3$ 的奇数倍.考虑到 $b<1000$,于是 $k=3,9$,经验证有\[(k,j,b)=(3,6,10),(9,33,361),\]因此所求和为 $ 10+361=371$.

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