每日一题[2182]生成函数

一个标准的正方体骰子被投掷 $4$ 次,投掷出的数字的乘积恰为完全平方数的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$,则 $m+n=$_______.

答案    $\boxed{187}$.

解析    记 $2=X$,$3=Y$,$5=Z$,设\[ f(X, Y, Z)=\left(1+X+Y+X^{2}+Z+X Y\right)^{4}=\sum_{m, n, p \geqslant 0} a_{m, n, p} X^{m} Y^{n} Z^{p}, \]其中 $a_{m,n,p}$ 为非负整数.设所有 $m,n,p$ 均为偶数时对应的 $a_{m,n,p}$ 之和为 $N$,则所求概率为 $\dfrac{N}{6^4}$.分别令 $(X,Y,Z)$ 取\[P=\{(1,1,1),(1,1-1),(1,-1,1),(1,-1,1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)\}\]中的值时,$X^mY^nZ^p$ 只有当 $m,n,p$ 均为偶数时取值为 $8$ 个 $1$,其他时候均为 $4$ 个 $-1$ 和 $4$ 个 $1$,因此\[N=\dfrac{\displaystyle\sum_{(X,Y,Z)\in P}f(X,Y,Z)}{8}=\dfrac{6^4+4^4+3\cdot 2^4+3\cdot 0}{8}=200,\]从而所求概率为 $\dfrac{25}{162}$,$m+n=25+162=187$.

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