每日一题[2186]剪裁出圆

已知 $ABCDEF$ 是各内角相等的六边形,$AB=6$,$BC=8$,$CD=10$,$DE=12$.设 $d$ 是包含于该六边形的最大的圆的直径,则 $d^2=$ _______.

答案    $147$.

解析    延长 $FA,CB$ 交于点 $P$,延长 $FE,CD$ 交于点 $Q$,则平行四边形 $PCQF$ 中,$PC=QF=14$,$PF=CQ=22$.由于 $CD$ 与 $FA$ 的距离为\[(8+6)\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=7\sqrt 3,\]于是 $d\leqslant 7\sqrt 3$.

如图,$\angle CDE$ 的角平分线与 $AF$ 交于点 $G$,取 $DG$ 的中点为圆心作直径为 $7\sqrt 3$ 的圆,则圆心到 $DE$ 的距离为 $\dfrac{7\sqrt 3}2$,到 $AB,BC,EF$ 的距离都大于 $\dfrac{7\sqrt 3}2$,因此 $d=7\sqrt 3$,从而 $d^2=147$.

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