设 $a,b,c,d,e,f>0$，且满足 $abcdef=1$，求证：\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant 6.\]
解析
构造函数\[f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac {\ln x}3-1,\]于是其导函数\[f'(x)=\dfrac{(x-1)(x^3-3x^2-6x-1)}{3x(x^2+x+1)^2},\]因此当 $x\in (0,12)$ 时，可得 $f(x)\leqslant 0$，等号当且仅当 $x=1$ 时取得．
情形一 $a,b,c,d,e,f\in (0,12)$．此时\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant \sum_{\rm cyc}\left(-\dfrac{\ln a}3+1\right)=6,\]不等式成立．
情形二 $a,b,c,d,e,f$ 中有不小于 $12$ 的数，不妨设 $a\geqslant 12$．此时考虑函数\[g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1},\]不难求得其最大值为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$，于是\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant \dfrac{2a+1}{a^2+a+1}+5\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}\leqslant \dfrac{2\cdot 12+1}{12^2+12+1}+\dfrac{10}{\sqrt 3}=5.93\cdots<6,\]不等式成立．
综上所述，原不等式得证．