每日一题[2187]切割线放缩

设 $a,b,c,d,e,f>0$,且满足 $abcdef=1$,求证:\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant 6.\]

解析

构造函数\[f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac {\ln x}3-1,\]于是其导函数\[f'(x)=\dfrac{(x-1)(x^3-3x^2-6x-1)}{3x(x^2+x+1)^2},\]因此当 $x\in (0,12)$ 时,可得 $f(x)\leqslant 0$,等号当且仅当 $x=1$ 时取得.

情形一    $a,b,c,d,e,f\in (0,12)$.此时\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant \sum_{\rm cyc}\left(-\dfrac{\ln a}3+1\right)=6,\]不等式成立.

情形二    $a,b,c,d,e,f$ 中有不小于 $12$ 的数,不妨设 $a\geqslant 12$.此时考虑函数\[g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1},\]不难求得其最大值为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$,于是\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant \dfrac{2a+1}{a^2+a+1}+5\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}\leqslant \dfrac{2\cdot 12+1}{12^2+12+1}+\dfrac{10}{\sqrt 3}=5.93\cdots<6,\]不等式成立.

综上所述,原不等式得证.

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