每日一题[2185]暴力计算

设 $a,b\in\mathbb R$,若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立,则当 $ab$ 取得最大值时,$\dfrac 1a+2\ln b=$_______.

答案    $-2\ln 2$.

解析    当 $a$ 确定时,$b$ 的最大值为函数 $f_a(x)=x{\rm e}^x-\ln x-ax^2-1$ 的最小值,因此考虑 $a\geqslant 0$ 时,$a\cdot \max f_a(x)$ 何时取得最大值. 函数 $f_a(x)$ 的导函数\[f_a'(x)={\rm e}^x(1+x)-\dfrac 1x-2ax,\]其最小值为 $f_a(t)$,其中\[a=\dfrac{{\rm e}^t(t^2+t)-1}{2t^2},\]于是\[f_a(t)=\dfrac {{\rm e}^t(t-t^2)-2\ln t-1}2,\]因此\[ab=\dfrac{{\rm e}^t(t^2+t)-1}{2t^2}\cdot \dfrac {{\rm e}^t(t-t^2)-2\ln t-1}2,\]设右边为 $g(t)$,则其导函数\[g'(t)=-\dfrac{\left(2+{\rm e}^tt(-1+t+t^2)\right)\left({\rm e}^tt^2+\ln t\right)}{2t^3},\]于是当\[{\rm e}^tt^2+\ln t=0\iff {\rm e}^t\cdot t=\dfrac 1t\cdot\ln \dfrac 1t\iff \begin{cases} {\rm e}^t=\dfrac 1t,\\ \ln t=-t\end{cases}\]时,$ab$ 取得最大值.此时\[\dfrac 1a+2\ln b=2t+2\ln \dfrac t2=-2\ln 2.\]

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