每日一题[2183]左右开弓

在三棱锥 $P-ABC$ 中,底面 $ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形,且 $AB=2$,$PA=PC=\sqrt 5$,$PB$ 与底面 $ABC$ 所成的角的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$,则三棱锥 $P-ABC$ 的外接球的半径为_______.

答案    $\dfrac 32$ 或 $\dfrac{\sqrt{89}}2$.

解析    设 $AC$ 的中点为 $M$,三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $O$,则 $O$ 在平面 $ABC$ 过点 $M$ 的垂线上,分析平面 $PAM$ 即可,如图.

以 $M$ 为坐标原点,$\overrightarrow{AM}$ 方向为 $x$ 轴正方向建立平面直角坐标系.则 $A\left(-\sqrt 2,0\right)$,$PM=\sqrt 3$,直线 $AP:x=\pm 2\sqrt 2y-\sqrt 2$,与圆 $x^2+y^2=3$ 联立可得(不妨设 $y>0$)\[9y^2\mp 8y-1=0\iff y=1\lor y=\dfrac 19,\]于是 \[P_1\left(\sqrt 2,1\right),\quad P_2\left(-\dfrac{11\sqrt 2}9,\dfrac 19\right),\]从而 $ PA$ 的中点坐标对应为\[N_1\left(0,\dfrac 12\right),\quad N_2\left(-\dfrac{10\sqrt 2}9,\dfrac 1{18}\right),\]于是\[PN_1:y=-2\sqrt 2x+\dfrac 12,\quad PN_2:y=2\sqrt 2\left(x+\dfrac{10\sqrt 2}9\right)+\dfrac{1}{18},\]进而\[O_1\left(0,\dfrac 12\right),\quad O_2\left(0,\dfrac{9}{2}\right),\]因此外接球半径的为\[r_1=\dfrac 32,\quad r_2=\dfrac{\sqrt{89}}2.\]

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