解析几何解题技巧之“垂径定理”

        我们都知道垂径定理是圆的重要性质,其内容为:

已知圆中有一条非直径的弦,那么这条弦垂直于过其中点的直径.

        对于椭圆也有类似的性质,我们称之为椭圆的“垂径定理”,描述如下:

已知不过原点\(O\)的直线与椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)交于\(A\)、\(B\)两点,\(M\)为弦\(AB\)的中点,则直线\(AB\)与直线\(OM\)的斜率之积\[k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}.\]

注一    当\(a=b=r\)时,椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理;

注二    这里并不要求\(a>b\),也就是说此结论对焦点在\(x\)轴和焦点在\(y\)轴上的椭圆均适用;

注三    双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)的垂径定理中的斜率之积\[k_{AB}\cdot k_{OM}=\dfrac{b^2}{a^2}.\]


         点差法是证明这一性质的最好方法:

设\(A\left(x_1,y_1\right)\),\(B\left(x_2,y_2\right)\),则\[\begin{split}\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1\\\dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1\end{split}\]两式相减,有\[\dfrac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0,\]两边同时除以\(x_1^2-x_2^2\),并化简可得\[\dfrac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]利用平方差公式变形,有\[\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \dfrac{\dfrac{y_1+y_2}2-0}{\dfrac{x_1+x_2}2-0}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]此即欲证性质.


         证明这一性质的方法,以及这一性质都是解析几何重点学习和掌握的内容.下面就举例说明这一性质的应用.


 例1、(2013年北京高考数学理)已知\(A,B,C\)是椭圆\(W:\dfrac{x^2}4+y^2=1\)上的三个点,\(O\)为坐标原点.

(1)当\(B\)是\(W\)的右顶点,且四边形\(OABC\)为菱形时,求此菱形的面积;

(2)当点\(B\)不是\(W\)的顶点时,判断四边形\(OABC\)是否可能是菱形,并说明理由.


   (1)菱形的面积为\(\sqrt 3\);

(2)四边形\(OABC\)不可能为菱形.用反证法证明如下:

QQ20150224-4

假设四边形\(OABC\)是菱形.当点\(B\)不是\(W\)的顶点时,直线\(OB\)和直线\(AC\)的斜率都存在,设\(OB\)与\(AC\)相交于点\(M\),则\(M\)平分\(AC\).

由椭圆的垂径定理得\[k_{AC}\cdot k_{OM}=-\dfrac 14,\]于是\(AC\)与\(OM\)不垂直,与四边形\(OABC\)是菱形矛盾.

因此四边形\(OABC\)不可能为菱形.


例2、(2014年北京东城一模)已知椭圆\(G:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)过点\(A\left(1,\dfrac{\sqrt 6}3\right)\)和\(B(0,-1)\).

(1)求椭圆\(G\)的方程;

(2)设过点\(P\left(0,\dfrac 32\right)\)的直线\(l\)与椭圆\(G\)交于\(M\)、\(N\)两点,且\(BM=BN\).求直线\(l\)的方程.


 解    (1)\(\dfrac{x^2}3+y^2=1\);

(2)设弦\(MN\)的中点\(E\)的坐标为\((m,n)\).

QQ20150224-6由椭圆的垂径定理与已知条件,有\[\begin{cases}k_{BE}\cdot k_{PE}=-1\\k_{OE}\cdot k_{PE}=-\dfrac 13\end{cases}\]于是\[\begin{cases}\dfrac{\dfrac 32-n}{0-m}\cdot\dfrac{n+1}{m}&=-1\\\dfrac{n}{m}\cdot\dfrac{n-\dfrac 32}{m}&=-\dfrac 13\end{cases}\]解得\[\begin{cases}m=\pm\dfrac{\sqrt 6}2\\n=\dfrac 12\end{cases}\]于是直线\(l\)的方程为\[y=\pm\dfrac{\sqrt 6}3x+\dfrac 32.\]


         友情提示,在考试的时候如果应用了椭圆的垂径定理,记得用点差法叙述一下证明过程哦!

        最后给出一组练习题.


练习1、(2014年北京丰台二模)如图,已知椭圆\(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\),过左焦点\(F\left(-\sqrt 3,0\right)\)且斜率为\(k\)的直线交椭圆\(E\)于\(A\)、\(B\)两点,线段\(AB\)的中点为\(M\),直线\(l:x+4ky=0\)交椭圆于\(C\)、\(D\)两点.

QQ20150224-5(1)求椭圆\(E\)的方程;

(2)求证:点\(M\)在直线\(l\)上;

(3)是否存在实数\(k\),使得三角形\(BDM\)的面积是三角形\(ACM\)面积的\(3\)倍?若存在,求出\(k\)的值;若不存在,说明理由.

练习2、(2015年北京海淀高三期末文科)已知椭圆\(M:x^2+2y^2=2\).

(1)求\(M\)的离心率及长轴长;

(2)设过椭圆\(M\)的上顶点\(A\)的直线\(l\)与椭圆\(M\)的另一个交点为\(B\),线段\(AB\)的垂直平分线交椭圆于\(C\)、\(D\)两点.问:是否存在直线\(l\)使得\(C\)、\(O\)、\(D\)三点共线(\(O\)为坐标原点)?若存在,求出所有满足条件的直线\(l\)的方程;若不存在,说明理由.


参考答案

练习1、(1)\(E:\dfrac{x^2}4+y^2=1\);(2)略;(3)存在,\(k=\pm\dfrac 12\).

练习2、(1)\(e=\dfrac{\sqrt 2}2\),长轴长为\(2\sqrt 2\);(2)\(l:x=0\).

更多的例题和练习可以参考一般圆锥曲线的“垂径定理”

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解析几何解题技巧之“垂径定理”》有 14 条评论

  1. menghd说:

    此即共轭直径,我个人利用几何方法得到了更多有趣的性质 ⊙ω⊙

  2. zfc说:

    练习1第3问答案好像是正负四分之根2

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  11. 扒拉题说:

    练习2第2问,l能否是y轴(x=0)呢?

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