每日一题[44] “垂径定理”二三事

我们先来看一道简单的试题.

(2015年北京朝阳高三期末理)已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\))过点\(\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\),离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\).过椭圆右顶点\(A\)的两条斜率乘积为\(-\dfrac 14\)的直线分别交椭圆\(C\)于\(M,N\)两点.

(1)求椭圆\(C\)的标准方程;

(2)直线\(MN\)是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.


cover参考答案    (1)\(C:\dfrac{x^2}4+y^2=1\);(2)定点坐标为\((0,0)\).

熟悉椭圆的垂径定理的同学一定知道这个定理的有用推论(并且也可作为椭圆的斜率积定义,有时这个定义又称为第三定义):

椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的点\(P\)与椭圆的直径\(AB\)(过椭圆中心的直线被椭圆截得的线段)的两个端点的连线的斜率之积\[k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}.\]

这个题目是该推论的逆命题:

对于椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的点\(P\),过\(P\)作两条直线\(PA\)、\(PB\)(点\(A\)、\(B\)为椭圆上不同于\(P\)的点),它们的斜率之积\[k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2},\]那么线段\(AB\)是椭圆的直径(即直线\(AB\)通过椭圆的中心).

现在进入正题.

(2015年北京海淀高三期末理)已知椭圆\(M:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\),点\(F_1\)、\(C\)分别是椭圆\(M\)的左焦点、左顶点,过点\(F_1\)的直线\(l\)(不与\(x\)轴重合)交\(M\)于\(A\)、\(B\)两点.

QQ20150225-1

(1)求\(M\)的离心率及短轴长;

(2)是否存在直线\(l\),使得点\(B\)在以线段\(AC\)为直径的圆上,若存在,求出直线\(l\)的方程;若不存在,说明理由.


(1)\(e=\dfrac 12\),\(2b=2\sqrt 3\).

(2)不存在直线\(l\),使得点\(B\)在以线段\(AC\)为直径的圆上,证明如下.

原问题即\(\angle ABC\)是否可能为直角,我们接下来证明\(\angle ACB\)为钝角来否定\(\angle ABC\)为直角的可能性.

将坐标系平移至以\(C\)为原点\(C'\),则椭圆方程变为\[\frac{\left(x'-2\right)^2}{4}+\frac{y'^2}3=1,\]即\[\frac 14x'^2-x'+\frac 13y'^2=0.\]

此时\(F_1'(1,0)\),因此可设直线\[A'B':x'+ny'=1,\]与椭圆方程化齐次联立,有\[\frac 14x'^2-x'\left(x'+ny'\right)+\frac 13y'^2=0,\]也即\[\frac 13\left(\frac{y'}{x'}\right)^2-n\cdot\frac{y'}{x'}-\frac 34=0,\]于是\[k_{C'A'}\cdot k_{C'B'}=-\frac 94,\]因此\(\angle A'C'B'\)为钝角,也即\(\angle ACB\)为钝角,欲证命题成立.


 点评    事实上,我们有结论

若椭圆上一点与动弦的两端点的连线斜率之积为定值,那么动弦过定点.

证明留给读者.

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每日一题[44] “垂径定理”二三事》有一条回应

  1. 看门狗说:

    坐标系平移再齐次联立,好酷!

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