每日一题[204] “垂径定理”

2014年全国高中数学联赛山东省预赛第13题:

设点\(O\)为椭圆的中心,点\(A\)为椭圆上异于顶点的任意一点,过点\(A\)作长轴的垂线,垂足为\(M\),连接\(AO\)并延长交椭圆于另一点\(B\),连接\(BM\)并延长交椭圆于点\(C\),问是否存在椭圆,使得\(BA\perp CA\)?

QQ20150806-3


cover    记\(A(m,n)\),\(B(-m,-n)\),\(M(m,0)\),则根据椭圆的“垂径定理”,有\[k_{CA}\cdot k_{CB}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]而\[k_{CA}=-\dfrac{1}{k_{AB}}=-\dfrac mn,\]且\[k_{CB}=k_{BM}=\dfrac{n}{2m},\]于是可得\[\left(-\dfrac mn\right)\cdot\dfrac{n}{2m}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]化简得\[a^2=2b^2.\]

因此存在符合题意的椭圆使得\(BA\perp CA\),只需椭圆的离心率为\(\dfrac{\sqrt 2}2\)即可.


   2012年高考江苏卷第18题基本与本题一致:

如图,在平面直角坐标系\(xOy\)中,\(M\)、\(N\)分别是椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}2=1\)的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于\(P\)、\(A\)零点,其中点\(P\)在第一象限,过\(P\)作\(x\)轴的垂线,垂足为\(C\),连接\(AC\),并延长交椭圆于点\(B\),设直线\(PA\)的斜率为\(k\).

QQ20150806-4

(1)当\(PA\)平分线段\(MN\)时,求\(k\)的值;

(2)设\(k=2\)时,求点\(P\)到直线\(AB\)的距离\(d\);

(3)对任意\(k>0\),求证:\(PA\perp PB\).

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每日一题[204] “垂径定理”》有 2 条评论

  1. weilew 刘 晓威说:

    这道题的第一步是根据椭圆的垂径定理来的?我怎么看着像是仿射来的,求讲解!

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