椭圆焦点位置的确定

给定椭圆，双曲线和抛物线，尺规作图求其焦点．

先利用椭圆的“垂径定理”作出椭圆的中心．

1、作平行的弦$AB,CD$；

2、连接$AB,CD$的中点$M,N$交椭圆于$S,T$；

3、线段$ST$的中点即椭圆的中心．

接下来利用椭圆的对称性作出长短轴．

4、以椭圆的中心为圆心，合适的长为半径作圆与椭圆交于$P_1,P_2,P_3,P_4$；

5、过$O$作$P_1P_2,P_2P_3$的平行线，得到椭圆的长轴和短轴．

最后利用$a,b,c$的数量关系确定焦点位置．

6、以长半轴长为半径，短轴端点为圆心作圆，与长轴的交点即为椭圆的焦点．

作为练习，请读者尝试双曲线和抛物线的情形．

提示    双曲线的中心和对称轴可以仿照椭圆作出，此时可以在实轴所在直线上截取距离中心$\sqrt 2 a$的点作实轴的垂线交双曲线于$(\sqrt{2}a,b)$，以下略；

对于抛物线，可以利用平行弦中点连线确定对称轴方向，然后作垂直于对称轴的弦取其垂直平分线即抛物线的对称轴．得到顶点后作直线$y=2x$，再过此直线与抛物线的交点作对称轴的垂线，垂足即焦点．

接下来思考两个拓展问题．

1、如果给定的是包含某个顶点的曲线段，那么该如何作图？

2、如果给定的是不包含任何顶点的一小段曲线段，那么该如何作图？

注    第2个拓展问题对于抛物线，可以借助抛物线的光学性质完成作图；而对于椭圆和双曲线则是相对困难的．在高等几何中学习了射影几何的相关知识后，就可以通过给定曲线上的五个点进行作图了（依赖于Pascal定理）．