椭圆焦点位置的确定

给定椭圆,双曲线和抛物线,尺规作图求其焦点.

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先利用椭圆的“垂径定理”作出椭圆的中心.

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1、作平行的弦$AB,CD$;

2、连接$AB,CD$的中点$M,N$交椭圆于$S,T$;

3、线段$ST$的中点即椭圆的中心.

接下来利用椭圆的对称性作出长短轴.

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4、以椭圆的中心为圆心,合适的长为半径作圆与椭圆交于$P_1,P_2,P_3,P_4$;

5、过$O$作$P_1P_2,P_2P_3$的平行线,得到椭圆的长轴和短轴.

最后利用$a,b,c$的数量关系确定焦点位置.

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6、以长半轴长为半径,短轴端点为圆心作圆,与长轴的交点即为椭圆的焦点.

作为练习,请读者尝试双曲线和抛物线的情形.

提示    双曲线的中心和对称轴可以仿照椭圆作出,此时可以在实轴所在直线上截取距离中心$\sqrt 2 a$的点作实轴的垂线交双曲线于$(\sqrt{2}a,b)$,以下略;

对于抛物线,可以利用平行弦中点连线确定对称轴方向,然后作垂直于对称轴的弦取其垂直平分线即抛物线的对称轴.得到顶点后作直线$y=2x$,再过此直线与抛物线的交点作对称轴的垂线,垂足即焦点.

接下来思考两个拓展问题.

1、如果给定的是包含某个顶点的曲线段,那么该如何作图?

2、如果给定的是不包含任何顶点的一小段曲线段,那么该如何作图?

   第2个拓展问题对于抛物线,可以借助抛物线的光学性质完成作图;而对于椭圆和双曲线则是相对困难的.在高等几何中学习了射影几何的相关知识后,就可以通过给定曲线上的五个点进行作图了(依赖于Pascal定理).

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