解析几何解题技巧之“垂径定理”

        我们都知道垂径定理是圆的重要性质，其内容为：

已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．

        对于椭圆也有类似的性质，我们称之为椭圆的“垂径定理”，描述如下：

已知不过原点\(O\)的直线与椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)交于\(A\)、\(B\)两点，\(M\)为弦\(AB\)的中点，则直线\(AB\)与直线\(OM\)的斜率之积\[k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}.\]

注一    当\(a=b=r\)时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；

注二    这里并不要求\(a>b\)，也就是说此结论对焦点在\(x\)轴和焦点在\(y\)轴上的椭圆均适用；

注三    双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)的垂径定理中的斜率之积\[k_{AB}\cdot k_{OM}=\dfrac{b^2}{a^2}.\]

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         点差法是证明这一性质的最好方法：

设\(A\left(x_1,y_1\right)\)，\(B\left(x_2,y_2\right)\)，则\[\begin{split}\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1\\\dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1\end{split}\]两式相减，有\[\dfrac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0,\]两边同时除以\(x_1^2-x_2^2\)，并化简可得\[\dfrac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]利用平方差公式变形，有\[\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \dfrac{\dfrac{y_1+y_2}2-0}{\dfrac{x_1+x_2}2-0}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]此即欲证性质．

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         证明这一性质的方法，以及这一性质都是解析几何重点学习和掌握的内容．下面就举例说明这一性质的应用．

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 例1、（2013年北京高考数学理）已知\(A,B,C\)是椭圆\(W:\dfrac{x^2}4+y^2=1\)上的三个点，\(O\)为坐标原点．

（1）当\(B\)是\(W\)的右顶点，且四边形\(OABC\)为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点\(B\)不是\(W\)的顶点时，判断四边形\(OABC\)是否可能是菱形，并说明理由．

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解    （1）菱形的面积为\(\sqrt 3\)；

（2）四边形\(OABC\)不可能为菱形．用反证法证明如下：

假设四边形\(OABC\)是菱形．当点\(B\)不是\(W\)的顶点时，直线\(OB\)和直线\(AC\)的斜率都存在，设\(OB\)与\(AC\)相交于点\(M\)，则\(M\)平分\(AC\)．

由椭圆的垂径定理得\[k_{AC}\cdot k_{OM}=-\dfrac 14,\]于是\(AC\)与\(OM\)不垂直，与四边形\(OABC\)是菱形矛盾．

因此四边形\(OABC\)不可能为菱形．

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例2、（2014年北京东城一模）已知椭圆\(G:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)过点\(A\left(1,\dfrac{\sqrt 6}3\right)\)和\(B(0,-1)\)．

（1）求椭圆\(G\)的方程；

（2）设过点\(P\left(0,\dfrac 32\right)\)的直线\(l\)与椭圆\(G\)交于\(M\)、\(N\)两点，且\(BM=BN\)．求直线\(l\)的方程．

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 解    （1）\(\dfrac{x^2}3+y^2=1\)；

（2）设弦\(MN\)的中点\(E\)的坐标为\((m,n)\)．

由椭圆的垂径定理与已知条件，有\[\begin{cases}k_{BE}\cdot k_{PE}=-1\\k_{OE}\cdot k_{PE}=-\dfrac 13\end{cases}\]于是\[\begin{cases}\dfrac{\dfrac 32-n}{0-m}\cdot\dfrac{n+1}{m}&=-1\\\dfrac{n}{m}\cdot\dfrac{n-\dfrac 32}{m}&=-\dfrac 13\end{cases}\]解得\[\begin{cases}m=\pm\dfrac{\sqrt 6}2\\n=\dfrac 12\end{cases}\]于是直线\(l\)的方程为\[y=\pm\dfrac{\sqrt 6}3x+\dfrac 32.\]

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         友情提示，在考试的时候如果应用了椭圆的垂径定理，记得用点差法叙述一下证明过程哦！

        最后给出一组练习题．

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练习1、（2014年北京丰台二模）如图，已知椭圆\(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)，过左焦点\(F\left(-\sqrt 3,0\right)\)且斜率为\(k\)的直线交椭圆\(E\)于\(A\)、\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，直线\(l:x+4ky=0\)交椭圆于\(C\)、\(D\)两点．

（1）求椭圆\(E\)的方程；

（2）求证：点\(M\)在直线\(l\)上；

（3）是否存在实数\(k\)，使得三角形\(BDM\)的面积是三角形\(ACM\)面积的\(3\)倍？若存在，求出\(k\)的值；若不存在，说明理由．

练习2、（2015年北京海淀高三期末文科）已知椭圆\(M:x^2+2y^2=2\)．

（1）求\(M\)的离心率及长轴长；

（2）设过椭圆\(M\)的上顶点\(A\)的直线\(l\)与椭圆\(M\)的另一个交点为\(B\)，线段\(AB\)的垂直平分线交椭圆于\(C\)、\(D\)两点．问：是否存在直线\(l\)使得\(C\)、\(O\)、\(D\)三点共线（\(O\)为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．

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参考答案

练习1、（1）\(E:\dfrac{x^2}4+y^2=1\)；（2）略；（3）存在，\(k=\pm\dfrac 12\)．

练习2、（1）\(e=\dfrac{\sqrt 2}2\)，长轴长为\(2\sqrt 2\)；（2）\(l:x=0\)．

更多的例题和练习可以参考一般圆锥曲线的“垂径定理”．