Math173

2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #7

已知在 $\triangle ABC$ 中，$a=2 b$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt 2}3$，则 $\sin\dfrac{A-B}2+\sin\dfrac C 2=$ _____．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #4

已知集合 $A=\{1,2,3\}$，映射 $f: A\rightarrow A$，且满足对任意 $x\in A$，有 $f(f(x))\geqslant x$，则这样的 $f$ 有_____个．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #3

已知函数 $f(x)=\sin\omega x+\sin 2 x$，其中 $\omega\in\mathbb N^+$，$\omega\leqslant 2023$，若 $f(x)<2$ 恒成立，则满足题设的常数 $\omega$ 的个数为_____．

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集合 $\{1,2,\cdots, 2023\}$ 的子集 $S$ 中，任意两个元素的平方和不是 $9$ 的倍数，则 $|S|$ 的最大值为[[nn]]．（这里 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数）

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如图，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$AD\perp CE$，$BE\perp CE$，垂足分别是点 $D, E$．如果 $AD=8$，$BE=3$，那么 $DE=$ [[nn]]． 

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2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #21

已知无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$，给定正整数 $m$，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足以下两个性质，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $P_{m}$ 数列：

① $a_{1} \in \mathbb{N}^{\ast}$；

② $a_{n+1}=\begin{cases}a_{n}^{2}+2^{m}, &a_{n}<2^{m}, \\ \dfrac{a_{n}}{2}, &a_{n} \geqslant 2^{m} .\end{cases}$

1、已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 分别为 $P_{2}$ 数列和 $P_{3}$ 数列，且 $a_{1}=8$，$b_{1}=10$，求 $a_{4}$ 和 $b_{4}$；

2、已知正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $P_{m}$ 数列．

① 无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{d_{n}}}$ 且 $c_{n}$ 为奇数，其中 $d_{n} \in \mathbb{N}$，证明：对于任意的 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$c_{n}<2^{m}$；

② 求满足条件的 $m$，并写出与 $m$ 对应的 $a_{1}$ 所有可能取值．

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2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #20

已知椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，右顶点为 $(2,0)$． 求

1、椭圆 $E$ 的方程；

2、过原点 $O$ 且与 $y$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M, N$ 两点．已知点 $P(0,2)$，直线 $PM, PN$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点分别为 $A, B$．证明：直线 $AB$ 过定点．

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2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #14

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，且 $|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=3$，$|\overrightarrow{OC}|=4$，设 $\theta$ 为向量 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ 的夹角，则 $\cos \theta=$ _____；$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}=$ _____．

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2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #10

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列，若存在正整数 $k$ 使得对任意 $n \in \mathbb{N}^{*}$，均有 $a_{n+k}<a_{n}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列，其中 $k$ 称为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的间隔数．下列结论中正确的有（       ）

A．若 $a_{n}=\dfrac{9}{n}$，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列

B．若 $a_{n}=n\cdot (-2)^{n+1}$，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列

C．若 $a_{n}=-\dfrac{n}{2}+\sin n$，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列且 $\left\{a_{n}\right\}$ 的间隔数的最小值是 $4$

D．以上结论均不正确

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2025年上海市春季高考数学试卷 #21

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$．对于 $t \in D$，定义集合 $S_{f(t)}=\{x \mid f(x) \geqslant f(t)\}$．

1、$f(x)=\log _2 x$，求 $S_{f(16)}$；

2、对于集合 $A$，若对任意 $x \in A$ 都有 $-x \in A$，则称 $A$ 是对称集．若 $D$ 是对称集，证明：函数 $y=f(x)$ 是偶函数的充要条件是对任意 $t \in D$，$S_{f(t)}$ 是对称集；

3、已知 $m$ 是实数，若 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} m x^2$（$x \in \mathbb{R}$）满足对于任意 $t_1,t_2 \in D$ 且 $t_1<t_2$，都有 $S_{f\left(t_2\right)} \subseteq S_{f\left(t_1\right)}$，求 $m$ 的取值范围．

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