Math173

2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #11

设直线 $y=t$ 与函数 $f(x)=x(x-3)^2$ 图象的三个交点分别为 $A(a, t), B(b, t), C(c, t)$，且 $a<b<c$，则（       ）

A．$f(x)$ 图象的对称中心为 $(2,2)$

B．$a b c$ 的取值范围为 $(0,12)$

C．$a c$ 的取值范围为 $(0,4)$

D．$c-a$ 的取值范围为 $\left(3,2 \sqrt{3}\right]$

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2025年上海市春季高考数学试卷 #12

在平面中，$\boldsymbol{e}_1$ 和 $\boldsymbol{e}_2$ 是互相垂直的单位向量，向量 $\boldsymbol{a}$ 满足 $\left|\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{e_1}\right|=2$，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $\left|\boldsymbol{b}-6 \boldsymbol{e_2}\right|=1$，则 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影数量的最大值是_____．

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已知实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$，证明：

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #12

现有 $11$ 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 $9$ 点开始到下午 $5$ 点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要 $1$ 位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解 $2$ 场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责，则馆方共有_____种排班方式．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #11

已知 $a , b$ 为正整数，$a<b$，且 $a , b$ 互质，关于 $x , y$ 的不等式 $a x+b y<a b$ 有且只有 $2023$ 组正整数解，则 $(a, b)=$ _____．（求出满足题意的所有可能数组）

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #9

使得 $n^2+2023 n$ 为平方数的正整数 $n$ 的最小值是____．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #7

已知在 $\triangle ABC$ 中，$a=2 b$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt 2}3$，则 $\sin\dfrac{A-B}2+\sin\dfrac C 2=$ _____．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #4

已知集合 $A=\{1,2,3\}$，映射 $f: A\rightarrow A$，且满足对任意 $x\in A$，有 $f(f(x))\geqslant x$，则这样的 $f$ 有_____个．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #3

已知函数 $f(x)=\sin\omega x+\sin 2 x$，其中 $\omega\in\mathbb N^+$，$\omega\leqslant 2023$，若 $f(x)<2$ 恒成立，则满足题设的常数 $\omega$ 的个数为_____．

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集合 $\{1,2,\cdots, 2023\}$ 的子集 $S$ 中，任意两个元素的平方和不是 $9$ 的倍数，则 $|S|$ 的最大值为[[nn]]．（这里 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数）

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