Math173

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=a^{x-1}-\log_a(x-1)$（其中 $a>0$，且 $a\neq 1$）为其定义域上的单调函数，则实数 $a$ 的取值范围为_____．

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #11

甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点 $C_1$ 出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径 $C_1\rightarrow B_1\rightarrow A_1\rightarrow A\rightarrow C$．若某"一笔画"路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径．下列说法正确的有（       ）

A．若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能 $6$ 次移动后回到点 $C_1$

B．经过 $4$ 次移动后仍在点 $C_1$ 的概率为 $\dfrac{19}{81}$

C．经过 $5$ 次移动后回到点 $C_1$ 有 $10$ 条完美路径

D．经过 $3$ 次移动后，到达点 $A_1$ 的条件下经过点 $C$ 的概率为 $\dfrac 1 3$

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #8

在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=CA=CB=2$，$\angle APB=\angle ACB=\dfrac{\pi}2$，$E,F,G$ 分别为 $PA,PB,PC$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥 $P-ABC$ 的四个面均相切，且小球同时还与平面 $EFG$ 相切，则 $PC=$ （       ）

A．$\sqrt 6+\sqrt 2$

B．$\sqrt 6-\sqrt 2$

C．$\sqrt{13}+1$

D．$\sqrt{13}-1$

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2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #19

在直角坐标平面 $x Oy$ 内，对于向量 $\boldsymbol{m}=(x, y)$，记 $\|\boldsymbol{m}\|=|x|+|y|$．设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 为直角坐标平面 $x Oy$ 内的向量，$\boldsymbol{a}=(1,1)$．

1、若 $\boldsymbol{b}=(-1,2)$，求 $\|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\|$；

2、设 $\boldsymbol{b}=(-1,-1)$，若 $\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\|=4$，求 $|\boldsymbol{c}|$ 的最大值；

3、若 $|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=2$，$\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}=2$，求证：$3-\sqrt{3} \leqslant \| \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\sqrt{3} \boldsymbol{a} \| \leqslant 2 \sqrt{6}+2 \sqrt{3}$．

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2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #18

设 $f(x)=a \ln x+\dfrac{1}{x}$．

1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的递减区间；

2、求证：函数 $g(x)=f(x)-\dfrac{1}{x}-a \ln (2-x)$ 的图象关于 $(1,0)$ 对称；

3、若当且仅当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)>x$，求实数 $a$ 的取值范围．

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2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #14

已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$，$g(x)=\ln x-a x$，若对任意 $x_{1} \in(0,+\infty)$，都存在 $x_{2} \in(0,+\infty)$，使得 $f\left(x_{1}\right) g\left(x_{2}\right)=x_{1} x_{2}$，则实数 $a$ 的取值范围为_____．

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2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知 $f(x)=\sin x$，记函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $I$ 上的最大值为 $M_{I}$．若正数 $k$ 满足 $M_{[0, k]}=2 M_{[k, 2 k]}$，则 $k=$_____．

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2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #11

已知等差数列 $\left\{\alpha_{n}\right\}$ 的公差为 $\theta$，$b_{n}=\cos \alpha_{n}$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$S=\left\{S_{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$，若存在 $\alpha_{1}$，使得 $S$ 中恰好有 $3$ 个元素，则 $\theta$ 可能的取值为（       ）

A．$\dfrac{\pi}{3}$

B．$\dfrac{\pi}{2}$

C．$\dfrac{2 \pi}{3}$

D．$\pi$

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2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #7

设 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若方程 $f(x)=k$（$k \in \mathbb{R}$）有 $3 $ 个不同的根 $a, b, c$，则 $a b c$ 的取值范围为（       ）

A．$(-4,0)$

B．$(-2,0)$

C．$(0,4)$

D．$(0,2)$

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2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #19

兵乓球比赛常用 $2n-1$ 局 $n$ 胜的赛制，其中 $n$ 是不小于 $2$ 的正整数，具体是指率先获取 $n$ 局比赛胜利的一方获胜（这样总比赛局数最多为 $2n-1$ 局）．

1、甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用 $5$ 局 $3$ 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 $0.8$：若采用 $7$ 局 $4$ 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 $0.9$．已知甲、乙两人共进行了 $m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$）场比赛，请根据小概率值 $\alpha=0.010$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． 附：$\chi^2=\dfrac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中 $n=a+b+c+d$．\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline P\left(\chi^2\geqslant \chi_0\right) & 0.05 & 0.025 & 0.010\\\hline k_0 & 3.841 & 5.024 & 6.635\\\hline \end{array}\]

2、若甲、乙两人采用 $5$ 局 $3$ 胜制比寒，设甲每局比赛的胜率均为 $p$，没有平局．记

事件 $A$ 为：甲只要取得 $3$ 局比赛的胜利比赛结束且甲获胜；

事件 $B$ 为：两人赛满 $5$ 局，甲至少取得 $3$ 局比赛胜利且甲获胜，

试证明：$P(A)=P(B)$．

3、甲、乙两人进行乒乓球比寒，每局比赛甲的胜率都是 $p$（$p>0.5$），没有平局．若采用 $2n-1$ 局 $n$ 胜的赛制，甲获胜的概率为 $p(n)$，试比较 $ p(n)$ 和 $ p(n+1)$ 的大小．

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