每日一题[3740]基本放缩

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #20

已知 $a>0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{a x}-x-1$．

1、当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

2、若对任意 $x\in[0,+\infty)$，都有 $f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围；

3、求证：存在实数 $a$，使方程 $f(x)+\dfrac 12=0$ 有正实数解．

解析

1、当 $a=2$ 时，有 $f(x)=\mathrm e^{2x}-x-1$，其导函数\[f'(x)=2\mathrm e^{2x}-1,\]于是所求切线方程为\[y=f'(0)(x-0)+f(0),~\text{即}~y=x.\]

2、根据题意，有\[f(x)\geqslant 0\iff ax-\ln (x+1)\geqslant 0,\]设左侧函数为 $g(x)$，则 $g(0)=0$，其导函数\[g'(x)=a-\dfrac{1}{x+1}.\]

若 $a\geqslant 1$，则根据对数函数的基本放缩，有\[g(x)\geqslant x-\ln (x+1)\geqslant 0.\]

若 $0<a<1$，则在区间 $\left[0,\dfrac 1a-1\right)$ 上，有 $g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，$g(x)<g(0)$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．

3、根据题意，有\[f(x)+\dfrac 12=0\iff \mathrm e^{ax}-x-\dfrac 12=0\iff a=\dfrac{\ln\left(x+\dfrac 12\right)}{x},\]取 $x=\dfrac 32$，$a=\dfrac 23\ln 2$，命题得证 $^{[1]}$．

备注  $[1]$ 设右侧函数为 $h(x)$，则其导函数\[h'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x+\dfrac 12}-\ln\left(x+\dfrac 12\right)}{x^2},\]利用对数的进阶放缩，可得 $h(x)$（$x>0$）的极大值，也为最大值点 $x_0$ 在区间 $\left(\dfrac 32,\dfrac{3+\sqrt{17}}4\right)$（即 $(1.5,1.78\cdots)$），数值解 $x_0=1.6555\cdots$