2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #31
已知数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_{2 m}$ 为 $2 m$ 个数 $1,2,\cdots,2 m$ 的一个排列，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m\geqslant 3$．若在集合 $\{1,2,\cdots,2 m-1\}$ 中至少有一个元素 $i$ 使得 $\left|a_i-a_{i+1}\right|=m$，则称数列 $A$ 具有性质 $P$．
1、当 $m=3$ 时，判断数列 $B: 1,5,3,4,6,2$ 和数列 $C: 6,5,2,4,1,3$ 是否具有性质 $P$；
2、若数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 和 $\left\{a_{2 n}\right\}$（$n=1,2,\cdots,m$）均为等差数列，且 $a_1=1$，$a_{2 m}=2$，证明：对于所有的偶数 $m$，数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_{2 m}$ 不具有性质 $P$；
3、在所有由 $1,2,\cdots,2 m$ 的排列组成的数列中，记具有性质 $P$ 的数列的个数为 $S$，不具有性质 $P$ 的数列的个数为 $T$，证明：对于任意 $m$（$m\geqslant 3$），$S>T$．
解析
1、根据题意，对于数列 $B$，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline i&1&2&3&4&5&6\\ \hline a_i&1&5&3&4&6&2\\ \hline |a_i-a_{i+1}|&4&2&1&2&4&\\ \hline \end{array}\]对于数列 $C$，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline i&1&2&3&4&5&6\\ \hline a_i&6&5&2&4&1&3\\ \hline |a_i-a_{i+1}|&1&\boxed{3}&2&\boxed{3}&2&\\ \hline \end{array}\] 因此数列 $B$ 不具有性质 $P$，数列 $C$ 具有性质 $P$．
2、由于 $a_1=1$，$a_{2m}=2$，于是 $a_3\geqslant 3$，从而奇子列的公差 $d_1$ 不小于 $2$；若 $d_1\geqslant 3$，则\[a_{2m-1}=a_1+(m-1)d_1\geqslant 1+(m-1)\cdot 3=3m-2>2m,\]不符合题意，因此 $d_1=2$． 类似的，可得偶子列的公差 $d_2=2$． 因此数列 $A$ 是奇偶交替的数列，任何相邻两项的差的绝对值均为奇数，不可能为偶数 $m$，因此命题得证．
3、对于任意不具有性质 $P$ 的数列\[ A:a_1,a_2,\cdots,a_{2m},\]由于数列长度为 $2m$，因此距离 $a_1$ 为 $m$ 的项有且仅有 $1$ 项，且不为 $a_2$，设该项为 $a_k$（$k\geqslant 3$），则将 $a_1$ 安插在 $a_{k-1},a_k$ 之间，如对数列\[A:1,5,3,4,6,2 \to A':5,3,1,4,6,2,\]这样 $A'$ 具有性质 $P$．显然这样的映射 $f:A\mapsto B$ 是单射，从而 $T\leqslant S$． 由于映射 $f$ 只会使得 $1$ 处相邻项的距离变为 $m$，因此当 $m\geqslant 3$ 时，考虑 $m$ 对距离为 $m$ 的数\[(1,m+1),(2,m+2),\cdots,(m,2m),\]保证这 $m$ 对数在排列中相邻，则这样的排列 $^{[1]}$ 无法通过不具有性质 $P$ 的数列通过映射 $f$ 得到．
备注 $[1]$ 有 $2^m\cdot m!$ 个．