2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右顶点分别为 $A_1,A_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $T(0,1)$，$\triangle TA_1 A_2$ 的面积为 $2$．
1、 求椭圆 $E$ 的方程；
2、过点 $T$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $E$ 于点 $C,D$，线段 $CD$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $Q$，点 $Q$ 关于直线 $CD$ 的对称点为 $P$．若四边形 $PCQD$ 为正方形，求 $k$ 的值．
解析
1、由点 $T(0,1)$，$\triangle TA_1 A_2$ 的面积为 $2$，可得 $|A_1A_2|=4$，因此 $a=2$，而离心率 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2$，于是 $b=\sqrt 2$，椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac {x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
2、设 $CD$ 的中点 $M(m,n)$，则直线 $CD,PQ$ 的方程为\[CD:y=\dfrac {n-1}mx+1,\quad PQ:y=-\dfrac{m}{n-1}(x-m)+n,\]根据椭圆的垂径定理，有\[\dfrac nm\cdot \dfrac{n-1}m=-\dfrac 12\iff m^2=-2n(n-1),\]从而 $Q\left(0,n+\dfrac{m^2}{n-1}\right)$ 即 $Q(0,-n)$． 记 $k=\dfrac{n-1}m$，则 $k^2=\dfrac{1-n}{2n}$，设 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，联立直线 $y=kx+1$ 与椭圆 $E$ 的方程，可得\[(2k^2+1)x^2+4kx-2=0,\]于是\[\begin{split}\overrightarrow{QC}\cdot \overrightarrow{QD}&=x_1x_2+(y_1+n)(y_2+n)\\ &=(k^2+1)x_1x_2+k(n+1)(x_1+x_2)+(n+1)^2\\ &=\dfrac{-2(k^2+1)}{2k^2+1}+2km(n+1)+(n+1)^2\\ &=3n^2+n-2,\end{split}\]由四边形 $PCQD$ 为正方形可得 $\overrightarrow{QC}\cdot \overrightarrow{QD}=0$，于是 $n=-1$（舍去）或 $n=\dfrac 23$，从而 $k=\pm\dfrac 12$．