每日一题[3690]映射与对应

2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #14

随机将 $1,2, \cdots, 2 n$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$n \geqslant 2$）这 $2 n$ 个连续正整数分成 $A, B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最大数为 $a$，$B$ 组最大数为 $b$，记 $\xi=|a-b|$．当 $n=3$ 时，$\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _____；若对任意 $n \geqslant 2$，$E(\xi)<c$ 恒成立，则 $c$ 的最小值为_____．

答案    $1.5$；$2$．

解析    不妨设 $a=2n$，则 $b$ 的所有可能值为 $2n-1,2n-2,\cdots,n$，于是\[\begin{split} E(\xi)&=\sum_{b=n}^{2n-1}\dfrac{2(2n-b)\dbinom {b-1}{n-1}}{\dbinom{2n}n}\\ &=\sum_{b=n}^{2n-1}\dfrac{2\left(2n\dbinom{b-1}{n-1}-n\dbinom bn\right)}{\dbinom{2n}n}\\ &=\sum_{b=n}^{2n-1}\dfrac{2n\left(2\dbinom{b-1}{n-1}-\dbinom bn\right)}{\dbinom{2n}n}\\ &=\dfrac{2n}{\dbinom{2n}n}\sum_{b=n}^{2n-1}\left(2\dbinom{b-1}{n-1}-\dbinom bn\right)\\ &=\dfrac{2n}{\dbinom{2n}n}\left(2\dbinom{2n-1}n-\dbinom{2n}{n+1}\right)\\ &=2n\left(1-\dfrac n{n+1}\right)\\ &=\dfrac{2n}{n+1},\end{split}\]于是当 $n=3$ 时，$E(\xi)=1.5$，若对任意 $n \geqslant 2$，$E(\xi)<c$ 恒成立，则 $c$ 的最小值为 $2$．

另法    不妨设 $a=2 n$，只需考虑另一组的最大数 $b$，即求从 $1 \sim 2 n-1$ 中随机取 $n$ 个数，最大数的数学期望，再用 $2 n$ 减去该期望值．考虑更一般的问题：

更一般的问题    从 $1 \sim m$ 中随机取 $n$ 个数，求最大数的数学期望．

解答    把 $1 \sim m$ 按从左到右顺序排列，从中取出 $n$ 个数，那么剩下的数被空位分隔为了 $n+1$ 段，长度分别为 $l_k$（$k=1,2,\cdots,n+1$），其和为 $m-n$．由对称性 $^{[1]}$，每一段长度的数学期望相等，均为 $\dfrac{m-n}{n+1}$．此时取出的最大数为\[n+l_1+l_2+\cdots+l_m,\]其数学期望为\[n+n \cdot \dfrac{m-n}{n+1}=\dfrac{n(m+1)}{n+1}.\]

回到原题    取 $m=2 n-1$，本题答案为\[E(\xi)=2 n-n \cdot \dfrac{ 2 n}{n+1}=\dfrac{2 n}{n+1}.\]

备注    $[1]$ 等价于将 $m+1$ 个数排成一圈，去掉 $n+1$ 个数（其中一个数作为首尾的分界，其余 $n$ 个数为上面的数），剩余 $m-n$ 个数．