每日一题[3695]边角互化

2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #13

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且 $\dfrac 1{\tan A}+\dfrac 2{\tan B}=\dfrac 3{\tan C}$，则 $\dfrac{c^2}{a^2+2 b^2}=$ _____．

答案    $\dfrac 1 3$．

解析    若 $\dfrac{m}{\tan A}+\dfrac{n}{\tan B}=\dfrac{t}{\tan C}$，则\[\begin{split} t&=m\cdot \dfrac{\tan C}{\tan A}+n\cdot \dfrac{\tan C}{\tan B}\\ &=\dfrac{m\sin C\cos A\sin B+n\sin C\cos B\sin A}{\sin A\sin B\cos C}\\ &=\dfrac{m\cdot bc\cdot \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+n\cdot ac\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{ab\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}\\ &=\dfrac{(n-m)(a^2-b^2)+(m+n)c^2}{a^2+b^2-c^2} ,\end{split}\]于是\[(m-n+t)a^2+(n-m+t)b^2=(m+n+t)c^2.\]

回到原题    令 $(m,n,t)=(1,2,3)$，可得 $2a^2+4b^2=6c^2$，于是 $\dfrac{c^2}{a^2+2b^2}=\dfrac 13$．