2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #19
已知 $A_1,A_2$ 为椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$0<b<\sqrt 3$）的左、右顶点，$M$ 为 $C_1$ 上的一点，$N$ 为双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}3-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的一点（$M,N$ 两点不同于 $A_1,A_2$ 两点），设直线 $A_1 M,A_2 M,A_1 N,A_2 N$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，且 $k_1+k_2+k_3+k_4=0$．
1、设 $O$ 为坐标原点，证明：$O,M,N$ 三点共线；
2、设 $C_1 , C_2$ 的右焦点分别为 $F_1 , F_2$，点 $M, N$ 均在第一象限，直线 $NF_1$ 与直线 $MF_2$ 相交于点 $P$，$k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2=8$．
① 证明：$MF_1 \parallel NF_2$；
② 证明：$\angle A_1 PF_1=\angle A_2 PF_2$．
2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #18
已知函数 $f(x)=\ln x-a\sqrt{x+1}+4$．
1、当 $a=\sqrt 3$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、若 $f(x)$ 有两个零点．
① 求 $a$ 的取值范围；
② 证明：$f(x)<\dfrac 2{\sqrt{a^2+1}-1}$．
2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #14
已知 $a_1,a_2,\cdots,a_8$ 是 $8$ 个正整数，记\[S=\left\{a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots+a_{i_7}\mid 1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_7\leqslant 8\right\},\]其中 $i_1,i_2,\cdots,i_7\in\mathbb N^{\ast}$，若 $S=\{82,83,84,85,86,87,89\}$，则这 $8$ 个正整数中的最大数与最小数的和为_____．
2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #11
将一枚质地均匀的硬币连续投掷 $n$ 次，定义随机变量 $X_n$ 为结果中连续出现正面的最大次数．若始终未出现正面，规定 $X_n=0$．例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为 $1$ 和 $2$，故 $X_4=2$，则（ ）
A．$P\left(X_2=2\right)=\dfrac 1 4$
B．$E\left(X_3\right)=\dfrac{11}8$
C．$P\left(X_6=4\right)=P^2\left(X_3=2\right)$
D．$E\left(X_n\right)\leqslant\dfrac n 2$
2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #8
若实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt x=2^{-y}=-\log_2 z$，则 $x,y,z$ 的大小关系不可能是（ ）
A．$z>x>y$
B．$z>y>x$
C．$y>x>z$
D．$y>z>x$
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #19
已知实数 $a\ne 0$，函数 $f(x)=|\ln x|+\dfrac a x$．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的最小值；
2、讨论 $f(x)$ 的单调性；
3、若 $f(x)$ 有且仅有三个不同零点为 $x_1,x_2,x_3$，证明：$x_1+x_2+x_3>\dfrac{2 a^2-4 a+1}{1-a}$．
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #18
已知集合 $U$ 含有 $n$ 个元素，其中 $n\geqslant 2$，先后两次随机、独立地选取集合 $U$ 的两个子集，记为 $A$ 与 $B$．设 $X$ 为集合 $A\cup B$ 中元素的个数，
1、若 $U=\{1,2\}$，且 $X=1$，请列举所有满足条件的 $A$ 和 $B$；
2、求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$；
3、设 $P(X=k)$ 在 $k=m$ 处取得最大值，用 $E(X)$ 表示 $m$．
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #17
已知 $A$ 为双曲线 $C: x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的右顶点，过点 $T(0,t)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别相交于 $M,N$ 两点．
1、若直线 $l$ 的斜率为 $2$，求 $b$ 的取值范围；
2、设直线 $AM,AN$ 分别与 $y$ 轴相交于 $P,Q$ 两点，若 $|AT|^2=|PT|\cdot|QT|$，求双曲线 $C$ 的方程．
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #16
如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，平面 $PAC\perp~\text{平面}~ABC$，$\triangle PAC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$AB=2\sqrt 2$，$\angle BAC=45^{\circ}$．
1、证明：$BC\perp PA$；
2、若线段 $PC$ 上的点 $Q$ 满足直线 $AP$ 与直线 $BQ$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt 5}{10}$，求点 $Q$ 到直线 $AB$ 的距离．
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #14
已知点 $A,B,C,D$ 均在半径为 $\sqrt 2$ 的球 $O$ 的球面上，$AB\perp AC$，$BC=2$，$AD=\sqrt 6$，则四面体 $D-ABC$ 的体积的最大值为 _____．
