若数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=\ln\left(a_n+1\right)-\dfrac{a_n}{a_n+1}$，则（ ）
A．$a_{2026}>a_{2025}$
B．$a_{2026}>\dfrac{a_{2025}}{a_{2025}+1}$
C．$\dfrac 1{a_{2025}}-\dfrac 1{a_{2026}}>1$
D．$\dfrac 1{a_{2026}}>2026$
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每日一题[4259]双变量恒成立
已知实数 $a>0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{-ax}\left(\ln x+\frac 1a\right)$ 与直线 $y=m$ 有 $2$ 个公共点，公共点横坐标分别为 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$x_1+x_2>2$．
每日一题[4258]超几何分布
某中学共有 $N$ 个社团（$N\geqslant 3$），学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会会随机邀请其中 $k$ 个社团参展（$1\leqslant k\leqslant N-1$，$k$ 为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从 $N$ 个社团中等可能地选取 $k$ 个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为 $X$．
1、求社团星火社至少参加一次博览会的概率；
2、求使概率 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m$ 的值（用 $N,k$ 表示）；
3、记随机变量 $X$ 的数学期望为 $E(X)$，方差为 $D(X)$；
① 求 $E(X)$；
② 证明：$D(X)<\dfrac{N+2}{16}$．
每日一题[4257]化齐次联立
已知圆 $E:(x+3)^2+y^2=16$ 和定点 $F(3,0)$，动点 $P$ 是圆 $E$ 上任意一点，线段 $PF$ 的垂直平分线与直线 $PE$ 交于点 $Q$，设曲线 $\Gamma$ 为点 $Q$ 的轨迹．
1、求曲线 $\Gamma$ 的方程；
2、设 $R(0,2)$，斜率为 $k$（$k\neq 0$）的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $AR,BR$ 分别与曲线 $\Gamma$ 交于 $C,D$ 两点；
① 若直线 $AR,BR$ 的斜率之和为 $0$，证明：直线 $AB$ 过定点；
② 若 $k=2$，证明：直线 $CD$ 过定点．
每日一题[4256]端点分析
已知不等式 $\mathrm e^{a x}+\mathrm e^{\frac a x}\leqslant 2\mathrm e^a$ 对任意 $x\in(0,+\infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 _____．
每日一题[4255]递推与特征根
已知 $x_1,x_2$ 为方程 $x^2-4 x+1=0$ 的两个实根，设 $a_n=\dfrac 1 2\left(x_1^n+x_2^n\right)$，下列结论正确的是（ ）
A．$a_3=26$
B．存在 $k\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $a_k a_{k+2}-a_{k+1}^2=2$
C．$a_{2026}$ 的个位数字为 $7$
D．$\dfrac{a_{2026}+1}2$ 为完全平方数
每日一题[4254]端点分析
已知函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)$（$\omega\in\mathbb R$，$0<\varphi<\pi$），若不等式 $|f(x)|\leqslant|2\sin x|$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则满足条件的 $\omega$ 的取值个数为（ ）
A．$3$ 个
B．$5$ 个
C．$7$ 个
D．无穷多个
每日一题[4253]加倍
已知 $a=\log_3 2$，$b=\log_5 11$，$c=\log_2 3$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（ ）
A．$a<c<b$
B．$b<c<a$
C．$b<a<c$
D．$a<b<c$
每日一题[4252]范围估计
已知曲线 $C: \cos (x+y)=x^2+y^2$，则下列直线与曲线 $C$ 有交点的是（ ）
A．$y=1-2 x$
B．$y=1+2 x$
C．$y=1-\dfrac{x}{2}$
D．$y=1+\dfrac{x}{2}$
每日一题[4251]比大小
已知 $\dfrac{a-\ln 2}{\ln \sqrt{3}}=\dfrac{2^b-\ln 3}{\ln 4}=\dfrac{c^2-\ln 6}{\ln 2}$，若 $b-1=\log _2 a$，则正数 $a, b, c$ 的大小关系是（ ）
A．$a<c<b$
B．$c<a<b$
C．$a<b<c$
D．$b<a<c$