这是WMTC2（青年组）的试题：
已知\(a,b,c>0\)且\(a+b+c=1\)，求证：\[2\sqrt 3\leqslant \sqrt {3a^2+1}+\sqrt {3b^2+1}+\sqrt {3c^2+1}<4.\]
记得以前在平面几何的小册子里有个优美的解法中应用了这个结论：
如果多边形\(S\)和\(T\)的面积相等，那么可以将多边形\(S\)剪成有限个多边形，然后重新拼接成多边形\(T\)．
这个看起来难以入手的问题其实并不难，让我们一起来解决它．
今年北京市海淀区高三期中考试压轴题改为了导数题，增加了一道常规的数列大题．本来想看看组合大题的，有点微微的失落啊．这次的导数大题对于学过切线法的同学可以说是轻而易举，稍微有些困扰的地方是对异常的处理．
题目是这样的：
设函数\(f(x)=\dfrac 1{5x^2+16x+23}\)，\(L\)为曲线\(C:y=f(x)\)在点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)处的切线．
(I) 求\(L\)的方程；
(II) 当\(x<-\dfrac 15\)时，证明：除切点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)之外，曲线\(C\)在直线\(L\)的下方；
(III) 设\(x_1,x_2,x_3\in\mathbf R\)，且满足\(x_1+x_2+x_3=-3\)，求\(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\)的最大值．
本题是2014年海淀高三期中考试的选择最后一题，设问方式新颖大方，推荐一下：
设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)．在同一个坐标系中，\(a_n=f(n)\)及\(S_n=g(n)\)的部分图象如图所示，则（ ）
A．当\(n=4\)时，\(S_n\)取得最大值
B．当\(n=3\)时，\(S_n\)取得最大值
C．当\(n=4\)时，\(S_n\)取得最小值
D．当\(n=3\)时，\(S_n\)取得最小值
试试看，你能不能不动笔把这个题目做出来呢？
这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题．
构造一个多边形，使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O ：经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两部分．
这看起来不大可能对吧？但其实构造却并不困难．你能想出来吗？
下面是趣题集 Which Way Did the Bicycle Go 中的第 71 个问题．
如下图，在这个六边形的围墙中，如果站在图中圆点的位置，那么有两面墙不能被完全看见（其中一面墙完全看不见）．能否设计出一个多边形围墙，使得站在围墙里面的某个地方后，所有的墙都至少有一部分是不可见的？
这是我的学生朱怡洁提出来的：
证明或否定：任意有理数都可以写成\[\frac {a^3+b^3}{c^3+d^3}\]的形式，其中\(a,b,c,d\in \mathbf{Z}\)．
对抛物线的任意三条不同切线，设切点分别为\(A,B,C\)，切线两两的交点分别为\(A_1,B_1,C_1\)，则\[S_{\triangle ABC}:S_{\triangle A_1B_1C_1}=2:1.\]
已知椭圆\(C:x^2+2y^2=4\)．
(1) 求椭圆\(C\)的离心率；
(2) 设\(O\)为原点，若点\(A\)在椭圆\(C\)上，点\(B\)在直线\(y=2\)上，且\(OA\perp OB\)，试判断直线\(AB\)与圆\(x^2+y^2=2\)的位置关系，并证明你的结论．
