2014年的安徽卷理科数学解析大题（第19题）是：
如图，已知两条抛物线\(E_1:y^2=2p_1x(p_1>0)\)和\(E_2:y^2=2p_2x(p_2>0)\)，过原点\(O\)的两条直线\(l_1\)和\(l_2\)，\(l_1\)与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(A_1\)，\(A_2\)两点，\(l_2\)与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(B_1\)，\(B_2\)两点． 
(I) 证明：\(A_1B_1 \parallel A_2B_2\)；
(II) 过\(O\)作直线\(l\)（异于\(l_1\)，\(l_2\)）与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(C_1\)，\(C_2\)两点．记\(\triangle A_1B_1C_1\)与\(\triangle A_2B_2C_2\)的面积分别为\(S_1\)与\(S_2\)，求\(\dfrac {S_1}{S_2}\)的值． 继续阅读
将标有数字1到10的十张扑克牌平均分给汤姆和杰瑞，每人各5张．假定汤姆理牌的顺序是从小到大，而杰瑞的理牌顺序恰好相反．然后两人按顺序出5轮牌，记录每一轮双方出牌的数字之差（用大的减去小的），你会发现无论最开始如何分配扑克牌，最后这5个差之和始终为定值25．这是为什么呢？
这是学生朱怡洁问我的一道题目：
设点\(A(x_0,y_0)\)为椭圆\(C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上的一点，\(B,C,D\)分别为点\(A\)关于\(x\)轴，原点，\(y\)轴对称的点．\(E\)为椭圆上一点，且使\(AE\perp AC\)，\(BD\)与\(CE\)交于点\(G\)．
(1) 求\(G\)的轨迹；
(2) 若\(\left(a^2+b^2\right)^3=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\)，椭圆上一条弦\(A_1B_1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，求\(\angle A_1OB_1\)．
这是华东师范大学第二附属中学数学教材（创新班和理科班用）中的一道例题：
已知锐角三角形\(ABC\)，求证：\[\sum_{cyc}\left(\sin A+\tan A\right)>2\pi.\]
今年天津高考理科数学压轴题（第20题）延续分析风格的导数大题：
设\(f(x)=x-a{\mathrm e}^x(a\in \mathcal R)\)，\(x\in \mathcal R\)．已知函数\(y=f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2\)，且\(x_1<x_2\)．
(I) 求\(a\)的取值范围；
(II) 证明\(\dfrac {x_2}{x_1}\)随着\(a\)的减小而增大；
(III) 证明\(x_1+x_2\)随着\(a\)的减小而增大．
这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题：
已知函数\(f(x)=(1+x){\mathrm e}^{-2x}\)，\(g(x)=ax+\dfrac {x^3}2+1+2x\cos x\)．当\(x\in [0,1]\)时，
(I) 求证：\(1-x\leqslant f(x)\leqslant \dfrac 1{1+x}\)；
(II) 若\(f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
这是WMTC2（青年组）的试题：
已知\(a,b,c>0\)且\(a+b+c=1\)，求证：\[2\sqrt 3\leqslant \sqrt {3a^2+1}+\sqrt {3b^2+1}+\sqrt {3c^2+1}<4.\]
记得以前在平面几何的小册子里有个优美的解法中应用了这个结论：
如果多边形\(S\)和\(T\)的面积相等，那么可以将多边形\(S\)剪成有限个多边形，然后重新拼接成多边形\(T\)．
这个看起来难以入手的问题其实并不难，让我们一起来解决它．
今年北京市海淀区高三期中考试压轴题改为了导数题，增加了一道常规的数列大题．本来想看看组合大题的，有点微微的失落啊．这次的导数大题对于学过切线法的同学可以说是轻而易举，稍微有些困扰的地方是对异常的处理．
题目是这样的：
设函数\(f(x)=\dfrac 1{5x^2+16x+23}\)，\(L\)为曲线\(C:y=f(x)\)在点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)处的切线．
(I) 求\(L\)的方程；
(II) 当\(x<-\dfrac 15\)时，证明：除切点\(\left(-1,\dfrac 1{12}\right)\)之外，曲线\(C\)在直线\(L\)的下方；
(III) 设\(x_1,x_2,x_3\in\mathbf R\)，且满足\(x_1+x_2+x_3=-3\)，求\(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\)的最大值．
