Math173

每日一题[136] 平面向量上的“攻守战”

发表于2015年6月4日由意琦行

2013年高考广东卷文科数学第10题（选择压轴题）：

设\(\overrightarrow a\)是已知的平面向量且\(\overrightarrow a\neq \overrightarrow 0\)，关于向量\(\overrightarrow a\)的分解，有如下四个命题：

① 给定向量\(\overrightarrow b\)，总存在向量\(\overrightarrow c\)，使\(\overrightarrow a=\overrightarrow b +\overrightarrow c\)；

② 给定向量\(\overrightarrow b\)和\(\overrightarrow c\)，总存在实数\(\lambda\)和\(\mu\)，使\(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b+ \mu \overrightarrow c\)；

③ 给定单位向量\(\overrightarrow b\)和正数\(\mu\)，总存在单位向量\(\overrightarrow c\)和实数\(\lambda\)，使\(\overrightarrow a=\lambda \overrightarrow b+\mu \overrightarrow c\)；

④ 给定正数\(\lambda\)和\(\mu\)，总存在单位向量\(\overrightarrow b\)和单位向量\(\overrightarrow c\)，使\(\overrightarrow a=\lambda \overrightarrow b+\mu \overrightarrow c\)．

上述命题中的向量\(\overrightarrow b\)、\(\overrightarrow c\)和\(\overrightarrow a\)在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

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在平行四边形\(ABCD\)中，\(\angle BAD=60^\circ\)，\(AD=2AB\)，若\(P\)是平面\(ABCD\)内一点且满足\(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow 0(x,y\in\mathcal R)\)，则当点\(P\)在以\(A\)为圆心，\(\dfrac{\sqrt 3}{3}\left|\overrightarrow{BD}\right|\)为半径的圆上时，\(x,y\)应满足的关系式为（）

A．\(4x^2+y^2+2xy=1\)

B．\(4x^2+y^2-2xy=1\)

C．\(x^2+4y^2-2xy=1\)

D．\(x^2+4y^2+2xy=1\)

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每日一题[134] 对称代数式的换元法

发表于2015年6月2日由意琦行

江苏海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试第14题：

在平面直角坐标系\(xOy\)中，设\(A\)、\(B\)为函数\(f(x)=1-x^2\)的图象与\(x\)轴的两个交点，\(C\)、\(D\)为函数\(f(x)\)图象上的两个动点，且\(C\)、\(D\)在\(x\)轴上方（不含\(x\)轴），则\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\)的取值范围为________．

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每日一题[133] 处理条件极值的两种策略

发表于2015年6月1日由意琦行

首先发一个高能预警，本题为2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题：

已知正数\(a,b,c\)满足\(2a+4b+7c\leqslant 2abc\)，求\(a+b+c\)的最小值．

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每日一题[132] 分段函数的单调性

发表于2015年5月31日由意琦行

这是2013年北京市春季普通高中会考试题：

已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)满足：

① \(f(x)\)的一个零点为\(2\)；

② \(f(x)\)的最大值为\(1\)；

③ 对任意实数\(x\)都有\(f(x+1)=f(1-x)\)．

（1）求\(f(x)\)的解析式；

（2）设函数\(g(x)=\begin{cases}x,&x\in A,\\f(x),&x\in B\end{cases}\)是定义域为\((0,1)\)的单调递增函数，\(0<x_0<x'<1\)．当\(x_0\in B\)时，证明：\(x'\in B\)．

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练习题[22] 基础练习

发表于2015年5月30日由意琦行

1、在发生某公共卫生事件期间，由专业机构认为该事件在一段事件没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）

A．甲地：总体均值为2，总体方差为3

B．乙地：中位数为2，众数为3

C．丙地：总体均值为3，中位数为4

D．丁地：总体均值为1，总体方差大于0

2、已知\(S=\dfrac{\pi}{200000}\cdot\left(\sin\dfrac{\pi}{200000}+\sin\dfrac{2\pi}{200000}+\sin\dfrac{3\pi}{200000}+\cdots+\sin\dfrac{100000\pi}{200000}\right)\)，推测下列各值中与\(S\)最接近的是（）

A．\(0.9988\)

B．\(0.9999\)

C．\(1.0001\)

D．\(2.0002\)

3、过双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左焦点\(F(-c,0)\)作圆\(x^2+y^2=a^2\)的切线，切点为\(E\)，延长\(FE\)交抛物线\(y^2=4cx\)于点\(P\)，\(O\)为原点，若\(E\)为线段\(FP\)的中点，则双曲线的离心率为_______．

4、当\(a>0\)且\(a\neq 1\)时，函数\(f(x)={\log_a}{(x-1)}+1\)的图象横过点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx-y+n=0\)（\(m,n\in\mathcal Z\)）上，则\(4^m+2^n\)的最小值为_______．

5、在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\(b^2+c^2-a^2=bc\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}>0\)，\(a=\dfrac{\sqrt 3}{2}\)，则\(b^2+c^2\)的取值范围是_______．

6、设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(f(a)=f(b)\)．证明一定存在长度为\(\dfrac{a-b}{2}\)的区间\([\alpha,\beta]\subset [a,b]\)使得\(f(\alpha)=f(\beta)\)．

7、已知函数\(f(x)=\ln x+ax^2+x\)．

（1）若\(f(x)\)是\((0,+\infty)\)上的增函数，求\(a\)的取值范围；

（2）已知\(a<0\)，对于函数\(f(x)\)图象上任意不同两点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，其中\(x_2>x_1\)，直线\(AB\)的斜率为\(k\)，记\(N(u,0)\)，\(A_1(x_1,0)\)，\(B_1(x_2,0)\)，若\(\overrightarrow{A_1B_1}=\lambda\overrightarrow{A_1N}(1\leqslant \lambda\leqslant 2)\)，求证：\(f'(u)<k\)．

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每日一题[131]max函数的处理

发表于2015年5月30日由意琦行

定义\(\max\{a,b\}=\begin{cases}a,a\geqslant b,\\b,a<b,\end{cases}\)设实数\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}|x|\leqslant 2,\\|y|\leqslant 2,\end{cases}\)则\(z=\max\{4x+y,3x-y\}\)的取值范围是______．

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每日一题[131] 极化恒等式

发表于2015年5月29日由意琦行

正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(2\)，\(MN\)是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），\(P\)为正方体表面上的动点，当弦\(MN\)的长度最大时，\(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}\)的取值范围是_______．