如图，在直角三角形\(ABC\)中，已知\(BC=a\)．若长为\(2a\)的线段\(PQ\)以点\(A\)为中点，问\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\overrightarrow{BC}\)的夹角\(\theta\)取何值时，\(\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}\)的值最大？并求出这个最大值．
已知\(P\)为椭圆\(\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)上一点，\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆的两个焦点，圆\(M\)为三角形\(F_1PF_2\)的内切圆圆心，\(PM\)交\(x\)轴于\(N\)，求\(\dfrac{PM}{MN}\)的值．
已知\(A\)、\(B\)是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆上（不在长轴上）两点，且\(F_1A\parallel F_2B\)．\(M\)为\(F_1B\)与\(F_2A\)的交点，求证：\(M\)的轨迹也是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆．
证明 设\(AF_1=m\)，\(BF_2=n\)，则\(AF_2=2a-m\)，\(BF_1=2a-n\)．
由题意\[\dfrac{MF_1}{MB}=\dfrac{MA}{MF_2}=\dfrac{AF_1}{BF_2}=\dfrac mn.\]
于是\[MF_1=\dfrac m{m+n}\cdot (2a-n),MF_2=\dfrac n{m+n}\cdot(2a-m).\]
因此\[MF_1+MF_2=2a-\dfrac 2{\dfrac 1m+\dfrac 1n}.\]
我们熟知\[\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{ep},\]
因此原命题得证．
这是2014年高考辽宁卷理科数学的第21题（解析几何大题）：
已知圆\(x^2+y^2=4\)的切线与\(x\)轴正半轴，\(y\)轴正半轴围成一个三角形．当该三角形的面积最小时切点为\(P\)．双曲线\(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)过点\(P\)且离心率为\(\sqrt 3\)．
（1）求\(C_1\)的方程；
（2）椭圆\(C_2\)过点\(P\)且与\(C_1\)有相同的焦点，直线\(l\)过\(C_2\)的右焦点$F$且与\(C_2\)交于\(A\)，\(B\)两点．若以线段\(AB\)为直径的圆过点\(P\)，求\(l\)的方程． 继续阅读
这是49周数学组功底测试的圆锥曲线试题：
已知焦点在\(x\)轴上的双曲线\(C\)的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点\(A(0,\sqrt 2)\)为圆心，\(1\)为半径的圆相切．又知\(C\)的一个焦点与\(A\)关于直线\(y=x\)对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）若\(Q\)是双曲线上的任一点，\(F_1\)，\(F_2\)为双曲线的左、右两个焦点，从\(F_1\)引\(\angle F_1QF_2\)的平分线的垂线，垂足为\(N\)，试求点\(N\)的轨迹方程．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，设三角形\(ABC\)的顶点分别为\(A(0,a)\)，\(B(b,0)\)，\(C(c,0)\)，点\(P(0,p)\)在线段\(AO\)上（异于端点）．设\(a,b,c,p\)为非零常数，设直线\(BP\)、\(CP\)分别与边\(AC\)、\(AB\)交于点\(E\)、\(F\)，求直线\(OE\)与直线\(OF\)的方程．
已知抛物线\(y^2=2px(p>0)\)，\(AB\)为过抛物线焦点\(F\)的弦，\(AB\)的中垂线交抛物线\(E\)于点\(M\)、\(N\)．若\(A\)、\(M\)、\(B\)、\(N\)四点共圆，求直线\(AB\)的方程．
