这是2014-2015年北京市25校联合综合能力测试的压轴题：
给定正奇数\(n(n\geqslant 5)\)，数列\(\left\{a_n\right\}:a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列，定义\[E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)=\left|a_1-1\right|+\left|a_2-2\right|+\cdots+\left|a_n-n\right|\]为数列\(\left\{a_n\right\}\)的位差和．
（1）当\(n=5\)时，求数列\(\left\{a_n\right\}:1,3,4,2,5\)的位差和；
（2）若位差和\(E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)=4\)，求满足条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的个数；
（3）若位差和\(E\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)=\frac 12\left(n^2-1\right)\)，求满足条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的个数．
这是我的学生朱怡洁在2014年12月19日问我的题目：
求所有的多项式\(f(x)\)，使\[f\left(x^2\right)=f(x)\cdot f(x+1).\]
我个人认为不可能存在满足题意的多项式，因为考虑\(f(x)\)的所有复根，将这些复根以及这些复根向左平移一个单位恰好是这些复根的平方根．我认为这种情形是不存在的．
2021年6月29日，by xixiggg．
若 $f(x)$ 为常数多项式，易知 $f(x)=0$ 或 $1$．下设 $f(x)$ 不为常数多项式．比较 $f\left(x^2\right)$ 与 $f(x)f(x+1)$ 的首项可知 $f(x)$ 的首项系数为 $1$，于是\[f\left(x^2\right)=f(x)f(x+1),\]等价于 $f\left(x^2\right)$ 与 $f(x)f(x+1)$ 的根相同．对 $f(x)$ 的任意根 $\alpha$，则 $\alpha$ 为 $f\left(x^2\right)$ 的根，从而 $\alpha^2$ 为 $f(x)$ 的根，由此结合简单的归纳法知 $\forall k\in\mathbb N$，$\alpha^{2^k}$ 也为 $f(x)$ 的根．结合 $f(x)$ 只有有限个根知 $|\alpha|=1$ 或 $|\alpha=0|$，即 $f(x)$ 只有模长为 $1$ 的根或根 $0$． 若 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根，则 $\alpha-1$ 为 $f(x+1)$ 的根，从而 $\alpha-1$ 为 $f\left(x^2\right)$ 的根，从而 $(\alpha-1)^2$ 为 $f(x)$ 的根，因此 $\alpha-1=0$ 或 $|\alpha-1|=1$，又 $\alpha=0$ 或 $|\alpha|=1$，可得\[\alpha=0,1,\dfrac 12\pm\dfrac{\sqrt {3}}2{\rm i},\]又注意到 $\alpha^2$ 为 $f(x)$ 的根，于是我们有\[\alpha^2=0,1,\dfrac 12\pm\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i},\]因此可得 $\alpha=0,1$，从而\[f(x)=x^u(x-1)^v,u,v\in\mathbb N^{\ast},\]从而\[f(x^2)=f(x)f(x+1)\iff x^{2u}(x-1)^v(x+1)^v=x^{u+v}(x-1)^v(x+1)^u,\]可得 $u=v$，综上所述，$ f(x)=0,1 $ 或 $ f(x)=x^n(x-1)^n $，其中 $ n $ 为正整数．
这是2014年辽宁卷的第14小题：
已知函数\(f(x)=\left|x^2+3x\right|\)，若方程\(f(x)-a|x-1|=0\)恰有\(4\)个互异的实数根，则实数\(a\)的取值范围是________．
函数是一种特殊的方程．对方程进行其当的代数变形，使得其中的一边获得优化，而另外一边不会因此变得无法进行下一步处理是我们应对方程的惯用方法．下面通过一组例题说明恰当的代数变形对解函数题的重要帮助．
这是2014年12月11日，我的学生朱怡洁问我的一道圆锥曲线试题：
已知\(A\)，\(B\)为椭圆\(\dfrac {x^2}8+\dfrac {y^2}2=1\)上的两点，弦\(AB\)的长为\(\dfrac 83\)，求三角形\(AOB\)的面积范围．
如果用常规的方法解运算繁杂，有没有运算较为简便的方法呢？
这是我的学生朱怡洁提出的问题：
\(n\)为正整数，\(a_i\in \mathbf C\)，对集合\(\{1,2,\cdots,n\}\)的任意非空子集\(I\)，都有\[\left|\prod _{j\in I}(1+a_j)-1\right|\leqslant \frac 12.\]证明：\(\sum|a_i|\leqslant 3\)．
