Math173

本题是2015年北京市北京大学附属中学的高一期末填空题的最后一题，综合考察了平面向量、递推（归纳）思想以及对新定义的理解与应用．对于没有学过复数的高一的学生来说，这道题还是颇有难度的，细细品来也别有一番风味．

设系列向量\(\overrightarrow{a_n}\left(n\in\mathcal N\right)\)按如下方式形成：

\(\overrightarrow{a_0}=\left(5,0\right)\)，常向量\(\overrightarrow b=\left(10,0\right)\)；

\(\overrightarrow{a_0}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_0}\)，\(\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{b_0}+\overrightarrow b\)；

\(\overrightarrow{a_1}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_1}\)，\(\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow b\)；

……  ……

\(\overrightarrow{a_n}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_n}\)，\(\overrightarrow{a_{n+1}}=\overrightarrow{b_n}+\overrightarrow b\)．

则\(\left|\overrightarrow{a_{2015}}\right|=\)________．

注：“绕起点”这个限制是多余的．

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本题是2015年北京市东城区高二期末考试的选择最后一题改成的填空题．题干简洁干净，考察点也同样清晰明朗；难度方面，思路入口宽，但想要真正解出并不容易．总的来说就是小巧的试题，深厚的背景，是道难得的好题．

 点\(P\)到点\(A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)\)及到直线\(x=-\dfrac 12\)的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么\(a\)的值是________．

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今天带来的题目是2015年北京海淀区高三期末理科选择最后一题．这道题目是经典的解析几何动态问题，需要运用函数与方程思想，积极探索构造不变量加以解决．

已知点\(A\)在曲线\(P:y=x^2(x>0)\)上，圆\(A\)过原点\(O\)，且与\(y\)轴的另一个交点为\(M\)．若线段\(OM\)，圆\(A\)和曲线\(P\)上分别存在点\(B\)、点\(C\)和点\(D\)，使得四边形\(ABCD\)（点\(A,B,C,D\)顺时针排列）是正方形，则称点\(A\)为曲线\(P\)的“完美点”．那么下列结论中正确的是（        ）

A．曲线\(P\)上不存在“完美点”

B．曲线\(P\)上只存在一个“
完美点”，其横坐标大于\(1\)

C．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(\dfrac 12\)且小于\(1\)

D．曲线\(P\)上存在两个“完美点”，其横坐标均大于\(\dfrac 12\)

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共线向量和共圆向量是向量问题中两种最重要的向量．共线向量的表达一般利用\[\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\]进行，那么如何恰当的表达共圆向量呢？ 如图，已知扇形\(AOB\)的圆心角为\(120^\circ\)，\(P\)为弧\(AB\)上一点，\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)．求\(x+y\)的取值范围． 继续阅读 →

设点\({G_1}\)、\({G_2}\)分别为\(\triangle{A_1}{B_1}{C_1}\)和\(\triangle{A_2}{B_2}{C_2}\)的重心，若\(\overrightarrow{{A_1}{A_2}}=\overrightarrow{{e_1}}\)，\(\overrightarrow{{B_1}{B_2}}=\overrightarrow{{e_2}}\)，\(\overrightarrow{{C_1}{C_2}}=\overrightarrow{{e_3}}\)，则\(\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=\)________．

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设\(\odot O\)为不等边\(\triangle ABC\)的外接圆，\(\triangle ABC\)的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对边的长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，\(P\)是\(\triangle ABC\)所在平面内的一点，且\[\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\dfrac{{b-c}}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}(P\neq A),\]\(Q\)为\(\triangle ABC\)所在平面外一点，\(QA=QB=QC\)．有下列命题：

① 若\(QA=QP\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，则点\(Q\)在平面\(ABC\)上的射影恰在直线\(AP\)上；

② 若\(QA=QP\)，则\(\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PC}\)；

③ 若\(QA > QP\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，则\(\dfrac{{BP}}{{CP}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}\)；

④ 若\(QA > QP\)，则\(P\)在\(\triangle ABC\)内部的概率为\(\dfrac{{{S_{\vartriangle ABC}}}}{{{S_{\odot O}}}}\)（\({S_{\vartriangle ABC}}\)、\({S_{\odot O}}\)分别表示\(\triangle ABC\)与\(\odot O\)的面积）．

其中不正确的命题有________．

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用给定基底或者根据具体情形选定基底后对图形中未知向量的分解，是解决向量问题或利用向量解决平面几何问题的重要核心步骤．在对平面向量的分解过程中，平面图形的性质得以代数化，从而可以通过函数、不等式等代数方法进行研究．与此同时，分解的系数也具有鲜明的几何意义，结合这些几何意义往往又可以简化问题．在学习平面向量时，体会这种代数与几何条件的互相对应与转化，对提高数形结合能力大有裨益．下面就通过一道经典的平面向量试题例说这一点．

已知\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，\(\cos A=\dfrac{1}{3}\)，若\(\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\)，则\(\alpha + \beta\)的最大值为________．

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利用三角形五心的向量表达（可以参考2015年1月27日每日一题）：

重心\(G\)满足

\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]

外心\(O\)满足

\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]

内心\(I\)满足

\[\begin{split}a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0\end{split}\]

垂心\(H\)满足

\[\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0,\]

旁心\(I_A\)满足

\[-\sin A\overrightarrow{I_AA}+\sin B\overrightarrow{I_AB}+\sin C\overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow 0.\]

我们可以有效地通过代数计算来证明很多和三角形的五心相关的几何命题，比如：

在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(2a=b+c\)．\(O\)、\(I\)分别为\(\triangle ABC\)的外心和内心，求证：\(OI\perp AI\)．

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下面的这个习题可以称得上是平面向量中最优美的一个结论，并且这个结论对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的五心相关的问题，有着决定性的基石作用．

已知\(P\)为三角形\(ABC\)内一点，求证：\[s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0,\]其中\(s_A\)、\(s_B\)、\(s_C\)分别是\(\triangle BPC\)、\(\triangle CPA\)、\(\triangle APB\)的面积．

延长\(AP\)交边\(BC\)于点\(Q\)，则

\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB+\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AQ},\]

且根据共线向量的表达，有

\[\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AB}.\]

从而可得

\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AB}.\]

对上式应用向量的换底公式（\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\)），将所有的向量改写为以\(P\)为起点的，

\[-\overrightarrow{PA}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}\right)+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}\right),\]

整理即得．

由于这个定理和奔驰的logo很相似，我们把它称为奔驰定理．

这个定理也可以利用三角恒等式证明，记\(\angle APB=\alpha\)，\(\angle APC =\beta\)、\(PA=x\)、\(PB=y\)、\(PC=z\)，欲证等式左边与\(\overrightarrow{PA}\)作数量积\[\begin{split}&\quad \left(s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}\right)\cdot\overrightarrow{PA}\\&=\dfrac 12yz\sin\left[2\pi-\left(\alpha+\beta\right)\right]\cdot x^2+\dfrac 12zx\sin\beta\cdot xy\cos\alpha+\dfrac 12xy\sin\alpha\cdot zx\cos\beta\\&=\dfrac 12x^2yz\left[-\sin\left(\alpha+\beta\right)+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\right]\\&=0,\end{split}\]同理，欲证不等式左边与\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)作数量积得到的结果也均为\(0\)．而向量\(\overrightarrow{PA}\)、\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)不共线，因此欲证明等式左边为零向量，等式得证．

事实上，根据这个定理，我们容易得到三角形的五心的向量表达：

重心\(G\)满足

\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]

外心\(O\)满足

\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]

内心\(I\)满足

\[\begin{split}a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0\end{split}\]

垂心\(H\)满足

\[\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0,\]

旁心\(I_A\)满足

\[-\sin A\overrightarrow{I_AA}+\sin B\overrightarrow{I_AB}+\sin C\overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow 0.\]

三角形的五心的向量表达是用向量法解平面几何问题的重要理论基础．