Math173

在三棱锥\(T-ABC\)中，\(TA,TB,TC\)两两垂直，\(T\)在平面\(ABC\)上的投影为\(D\)，\(O\)为三棱锥\(T-ABC\)内任意一点，连接\(AO\)、\(BO\)、\(CO\)、\(TO\)并延长交对面于\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(T'\)，给出下列命题：

①  \(TA\perp BC\)，\(TB\perp AC\)，\(TC\perp AB\)；

②  \(\triangle ABC\)是锐角三角形；

③  \(\dfrac{1}{TD^2}=\dfrac{1}{TA^2}+\dfrac{1}{TB^2}+\dfrac{1}{TC^2}\)；

④  \(S_{\triangle ABC}^2=\dfrac 13\left(S_{\triangle TAB}^2+S_{\triangle TAC}^2+S_{\triangle TBC}^2\right)\)（注：\(S_{\triangle ABC}\)表示三角形\(ABC\)的面积）；

⑤  \(\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}+\dfrac{OT'}{TT'}=1\)．

其中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）

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今天的试题为2010年江西省高考理科数学压轴题：

证明以下命题：

（1）对任意正整数\(a\)，都存在正整数\(b,c(b<c)\)，使得\(a^2,b^2,c^2\)成等差数列；

（2）存在无穷多个互不相似的三角形\(\triangle_n\)，其边长\(a_n,b_n,c_n\)为正整数，且\(a_n^2,b_n^2,c_n^2\)成等差数列．

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数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}\sqrt{\dfrac 1{a_n^2}+4}=1\)，记\(S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\)，若\(S_{2n+1}-S_n\leqslant \dfrac{m}{30}\)对任意\(n\in\mathcal N^*\)恒成立，则正整数\(m\)的最小值是________．

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设\(a_1=0\)，\(2a_{n+1}=3a_n+\sqrt{5a_n^2+4}\)．求证：数列\(\left\{a_n\right\}\)中不存在能被\(2016\)整除的偶数项．

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已知\(a,b,c\in\mathcal R\)，函数\(f(x)=ax^2+bx+c,-1\leqslant x\leqslant 1\)，函数\(g(x)=ax+b,-1\leqslant x\leqslant 1\)．求证：若\(\left|f(x)\right|\leqslant 1\)恒成立，则\(\left|g(x)\right|\leqslant 2\)恒成立．

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设\(f(x)=\ln\dfrac{1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a}{n}\)，其中\(a\in (0,1]\)，\(n\)是任意给定的自然数，且\(n\geqslant 2\)，证明：当\(x\neq 0\)时，\(2f(x)<f(2x)\)． 继续阅读 →