征解问题[5] 组合题（已解决）

这是我的学生朱怡洁提出的问题：

正\(n\)边形的顶点染若干种颜色（每点染一种颜色，一共至少染两种颜色）．已知每种颜色的所有点都构成一个正多边形．求证：这些同色多边形中必然有两个全等．

 以正\(n\)边形的中心作为复平面原点，则正\(n\)边形的顶点集为\[M=\left\{u\omega^t\left|\right.t=0,1,2,\cdots,n-1\right\},\omega=\cos\frac{2\pi}n+\mathcal i\sin\frac{2\pi}n.\]

反设所有同色多边形互不全等，则它们的边数互不相同，设为\(k_1<k2<\cdots<k_r<n,r\geqslant 2\)．\(M\)划分为\(r\)个子集\[M_j=\left\{u_j\omega_j^t\left|\right.t=0,1,2,\cdots,k_j-1\right\},\omega_j=\cos\frac{2\pi}{k_j}+\mathcal i\sin\frac{2\pi}{k_j},1\leqslant j\leqslant r.\]

其中\(u\)和\(u_j\)都是非零复数，它们的模都等于正\(n\)边形的外接圆半径．

记\[S=\sum_{z\in M}z^{k_1},S_j=\sum_{z\in M_j}z^{k_1},\]应当有\[S=\sum_{j=1}^rS_j.\]但根据单位根的性质，\[\sum_{i=0}^{m-1}\left(\cos\frac{2\pi}{m}+\mathcal i\sin\frac{2\pi}{m}\right)^{kt}\]当\(m\nmid k\)时等于\(0\)，而\(m \mid k\)时等于\(m\)．故\[S=S_2=S_3=\cdots=S_r=0,\]而\[S_1=k_1u_1^{k_1}\neq 0,\]得出矛盾．

注：此即数论中注明的三角和方法．本题表明，整数集\(\mathcal Z\)划分为若干个互不相交的双向无穷等差数列只有这样的方式：\(\mathcal Z\)先划分成\(d\)个公差为\(d\)的等差数列，然后其中若干个再分别划分成等公差的数列．

本题为前苏联奥林匹克试题，在网络中被评为最难的数学竞赛试题之一．