台球桌上的几何学

其实我不太了解台球,只知道有个号称九球皇后的“小潘婷”潘晓婷.

QQ20141214-3

言归正传,分享两道高考题,你就会明白台球桌上的技术是如何帮助我们解题的.

第一道题是2012年全国卷(理)的第12题:

正方形\(ABCD\)的边长为\(1\),点\(E\)在边\(AB\)上,点\(F\)在边\(BC\)上,\(AE=BF=\dfrac 37\),动点\(P\)从\(E\)出发沿直线向\(F\)运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点\(P\)第一次碰到\(E\)时,\(P\)与正方形的边碰撞的次数为(        )

QQ20141214-2

A.16

B.14

C.12

D.10

想象一下,如果我们不去反射动点的轨迹,而让动点沿射线运动,那么此时正方形就会不停地进行反射.

QQ20141214-1

此时,点\(E\)会有无数个影子,射线\(EF\)击中的第一个影子就对应着“点\(P\)第一次碰到\(E\)”.可以用代数的方法进行分析,以\(A\)为原点,建立平面直角坐标系,则\(E\)及它的影子的坐标形如\(\left(2m\pm\dfrac 37,2n\right)\),其中\(m,n\in\mathcal Z\).初始的点\(E\left(\dfrac 37,0\right)\),\(F\left(1,\dfrac 37\right)\),因此

\[\dfrac {2n-0}{2m\pm \dfrac 37-\dfrac 37}=\dfrac {\dfrac 37-0}{1-\dfrac 37}.\]

其最小的正整数解\((m,n)\)为\((4,3)\).

事实上,\(m\)或\(n\)每增加\(1\),都会引起\(2\)次的“穿越”(也就是真实环境中的“反射”),因此所求的次数为\(2(m+n)=14\).


第二道题是2014年江西卷(理)第10题:

在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中,\(AB=11\),\(AD=7\),\(AA_1=12\),一质点从顶点\(A\)射向点\(E(4,3,12)\),遇长方体的面反射(反射服从反射原理),将第\(i-1\)次到第\(i\)次反射点之间的线段记为\(l_i\)(\(i=2,3,4\)),\(l_1=AE\),将线段\(l_1,l_2,l_3,l_4\)竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(        )

QQ20141215-1 这个题目用两张图解答:

QQ20141120-1

53ab89aae1382368417628f0(江西反射)

聪明的你,领悟到其中的玄妙了吗?

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