已知二面角\(\alpha-AB-\beta\)为\(120^\circ\)，\(CD\subset\alpha\)，\(CD\perp AB\)，\(EF\subset\beta\)，\(EF\)与\(AB\)成\(30^\circ\)角，则异面直线\(CD\)与\(EF\)所成角的余弦值为________．
每日一题[45] n阶周期点
已知函数\(f(x)\)的定义域和值域都为\([0,1]\)，\(f_1(x)=f(x)\)，\(f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)\)，称方程\(f_n(x)=x\)的解为\(f(x)\)的\(n\)阶周期点．函数\[f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1\end{cases}\]的\(n\)阶周期点的个数为________．
练习题[6] 创新能力培养基础练习
1、已知圆$O:x^2+y^2=1$．若直线$y=kx+2$上总存在点$P$，使得过点$P$的圆$O$的两条切线互相垂直，则实数$k$的取值范围是_______．
2、已知曲线$C:\sqrt{2x+y-\sqrt 2}\cdot\sqrt{4x^2+y^2-2}=0$，对于下列命题：
① 曲线$C$为轴对称图形；
② 曲线$C$与坐标轴围成封闭图形的面积小于$\dfrac{\pi}2$；
③ 曲线$C$上的点到原点的距离最小值为$\dfrac{\sqrt{10}}5$；
④ 已知点$A\left(0,-\dfrac{\sqrt 6}2\right)$，$B\left(0,\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)$，$P$为曲线$C$上一点，则有$PA+PB\geqslant 2\sqrt 2$．
上述命题中，真命题的序号是_______．
3、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款规则如下：
① 如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；
② 如果一次性购物超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③ 如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．
甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品，实际付款450元，若丙一次性购买A、B两件商品，则应付款_______元．
4、设函数\[f(x)=\begin{cases}|x-a|,&x\leqslant 1,\\{\log_2}x,&x>1.\end{cases}\]
（1）如果$f(1)=3$，那么实数$a=$_______；
（2）如果函数$y=f(x)-2$有且仅有两个零点，那么实数$a$的取值范围是_______．
5、已知两点$M(-1,0)$，$N(1,0)$，若直线$y=k(x-2)$上至少存在三个点$P$，使得三角形$MNP$是直角三角形，则实数$k$的取值范围是_______．
6、阅读下面的框图，回答问题：
（1）若输入$a=1$，$\Delta=0.1$，则输出的$x_1=$_______；
（2）如输入$a=2$，则对输入$\forall\Delta >0$，均有输出的$x_1$满足：
① $N<x_1$；② $x_1\leqslant M$．
选定你认为正确的结论_______，指出$N$或$M$的取值范围________．
7、已知数集$A=\left\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right\}$，其中$0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，具有性质：
对于任意$i,j\in\mathcal N$，其中$1\leqslant i\leqslant j \leqslant 5$，$a_j+a_i$与$a_j-a_i$中至少有一个属于$A$．
若$a_5=60$，则$a_1=$_______；$a_3=$_______．
征解问题[12] 平面几何
如图，梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallel BC\)，\(\angle ABD=15^\circ\)，\(BC=BD\)，\(CD=CE\)．求证：三角形\(ABC\)为等腰直角三角形．
我是用三角方法解的，征求纯平面几何方法．
设\(BC=1\)，\(\angle CBD=2x\)，则\(CD=2\sin x\)．
在三角形\(ADC\)中应用正弦定理，有\[\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{CD}{\sin\angle CAD},\]于是\[\frac{AC}{\sin\left(x+90^\circ\right)}=\frac{2\sin x}{\sin\left(90^\circ-3x\right)},\]所以\[AC=\frac{\sin 2x}{\cos 3x}.\]
在三角形\(ABC\)中应用正弦定理，有\[\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC},\]于是\[\frac{AC}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{1}{\sin\left(x+75^\circ\right)},\]整理得\[\frac{\sin 2x}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{\cos 3x}{\sin\left(x+75^\circ\right)}.\]
显然，\(0<x<30^\circ\)，在此区间左侧单调递增，右侧单调递减（可以由导数证明），因此有唯一实数解\(x=15^\circ\)．
进而不难得到三角形\(ABC\)为等腰直角三角形．
我构想的辅助线是这样的：
每日一题[44] “垂径定理”二三事
我们先来看一道简单的试题．
（2015年北京朝阳高三期末理）已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）过点\(\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．过椭圆右顶点\(A\)的两条斜率乘积为\(-\dfrac 14\)的直线分别交椭圆\(C\)于\(M,N\)两点．
（1）求椭圆\(C\)的标准方程；
（2）直线\(MN\)是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案 （1）\(C:\dfrac{x^2}4+y^2=1\)；（2）定点坐标为\((0,0)\)．
熟悉椭圆的垂径定理的同学一定知道这个定理的有用推论（并且也可作为椭圆的斜率积定义，有时这个定义又称为第三定义）：
椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的点\(P\)与椭圆的直径\(AB\)（过椭圆中心的直线被椭圆截得的线段）的两个端点的连线的斜率之积\[k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}.\]
这个题目是该推论的逆命题：
对于椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的点\(P\)，过\(P\)作两条直线\(PA\)、\(PB\)（点\(A\)、\(B\)为椭圆上不同于\(P\)的点），它们的斜率之积\[k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2},\]那么线段\(AB\)是椭圆的直径（即直线\(AB\)通过椭圆的中心）．
现在进入正题．
（2015年北京海淀高三期末理）已知椭圆\(M:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)，点\(F_1\)、\(C\)分别是椭圆\(M\)的左焦点、左顶点，过点\(F_1\)的直线\(l\)（不与\(x\)轴重合）交\(M\)于\(A\)、\(B\)两点．
（1）求\(M\)的离心率及短轴长；
（2）是否存在直线\(l\)，使得点\(B\)在以线段\(AC\)为直径的圆上，若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
每日一题[43] 必要条件探路
一般而言，在进行问题的转化的时候主要特别注意问题的等价性，也就是需要同时考虑充分性和必要性．但很多时候，为了寻求突破口（尤其是突然有个猜想）时，往往需要先利用必要条件（或充分条件）探路，然后随后验证其充分性（或必要性）．
下面一道题目来自2015年北京西城高三期末理科数学．
设\(D\)为不等式组\[\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}\]表示的平面区域，点\(B(a,b)\)为坐标平面\(xOy\)内的一点，若对于区域\(D\)内的任一点\(A(x,y)\)，都有\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1\)成立，则\(a+b\)的最大值是________．
每日一题[42] 火眼金睛识原型
今天的试题是2013年辽宁高考理科选择题的最后一题：
已知函数\(f(x)\)满足\[x^2f'(x)+2xf(x)=\frac{\mathcal {\mathrm e}^x}{x},f(2)=\frac{{\mathrm e}^2}8,\]则\(x>0\)时，\(f(x)\)（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
每日一题[41] 联立三次又何妨
已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的长轴长为\(4\)，过左焦点\(F_1\)且垂直于\(x\)轴的直线被椭圆\(C\)截得的线段长为\(1\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程；
（2）设点\(A\)为椭圆的右顶点，过\(B(1,0)\)作直线与椭圆\(C\)相交于\(E\)、\(F\)两点，若直线\(AE\)、\(AF\)分别与直线\(x=3\)交于不同的两点\(M\)、\(N\)．求\(\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}\)的取值范围．
每日一题[40] 构造双曲线解题
已知三角形\(ABC\)中，\(AM\)为\(BC\)边上的中线（\(M\)在\(BC\)边上），且满足\(AM=AB-AC\)，\(BC=4\)．求点\(A\)到直线\(BC\)距离的最大值．
解析几何解题技巧之合理设参
在做解析几何习题时，容易陷入任何问题首先就设直线方程以及直线与圆锥曲线的交点坐标，然后联立直线方程与圆锥曲线方程的一个僵硬套路中去．可以看出，这种解题方式其实是“动直线驱动”的．事实上，有很多问题可以直接由“动点驱动”，也就是说对这类问题直接引入参数表达动点要比表达动直线更加直接．下面就通过一些“动点”驱动的例题诠释这一技巧．
例1、(2014年北京西城二模）已知椭圆\(W:\dfrac{x^2}2+y^2=1\)，直线\(l\)与\(W\)相交于\(M\)、\(N\)两点，\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(C\)、\(D\)两点，\(O\)为坐标原点．
（1）若直线\(l\)的方程为\(x+2y-1=0\)，求三角形\(OCD\)外接圆的方程；
（2）判断是否存在直线\(l\)，使得\(C\)、\(D\)是线段\(MN\)的两个三等分点，若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．
解 （1）三角形\(OCD\)外接圆的方程为\[\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 14\right)^2=\dfrac 5{16}.\]
（2）设\(C(m,0)\)，\(D(0,n)\)则\(M(-m,2n)\)，\(N(2m,-n)\)．
于是\[\begin{cases}\dfrac{m^2}2+4n^2=1,\\2m^2+n^2=1,\end{cases}\]解得\[m^2=\dfrac 25,\\n^2=\dfrac 15.\]
由截距式方程易得直线\(l\)的方程是\[l:y=\pm\dfrac{\sqrt 2}2x+\dfrac{\sqrt 5}5\lor y=\pm\dfrac{\sqrt 2}2x-\dfrac{\sqrt 5}5.\]
例2、（2014年北京海淀二模）已知椭圆\(G\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt 2}2\)，其短轴两端点为\(A(0,1)\)，\(B(0,-1)\)．
（1）求椭圆\(G\)的方程；
（2）若\(C\)、\(D\)是椭圆\(G\)上关于\(y\)轴对称的两个不同点，直线\(AC\)、\(BD\)与\(x\)轴分别交于点\(M\)、\(N\)．判断以\(MN\)为直径的圆是否过点\(A\)，并说明理由．
解 （1）\(\dfrac{x^2}2+y^2=1\)；
（2）以\(MN\)为直径的圆不可能过点\(A\)，证明如下．
设\(C\left(\sqrt 2\cos\theta,\sin\theta\right)\)，\(D\left(-\sqrt 2\cos\theta,\sin\theta\right)\)，\(M(m,0)\)，\(N(n,0)\)，则由\(ACM\)和\(BND\)分别共线可得\[m=\dfrac{\sqrt 2\cos\theta}{1-\sin\theta},n=-\dfrac{\sqrt 2\cos\theta}{1+\sin\theta},\]于是\[mn=-\dfrac{\sqrt 2\cos^2\theta}{1-\sin^2\theta}=-\sqrt 2.\]
因此以\(MN\)为直径的圆恒过点\(\left(0,\pm\sqrt [4]2\right)\)，也就是说与\(y\)轴恒交于这两点，进而该圆不可能过\(y\)轴上的另外一点\(A\)．
另一方面，由于\(1<\sqrt [4]2\)，于是点\(A\)恒在以\(MN\)为直径的圆的内部．
例3、（2014年北京朝阳二模）已知椭圆\(C\)的中心在原点\(O\)，焦点在\(x\)轴上，离心率为\(\dfrac 12\)，右焦点到右顶点的距离为\(1\)．
（1）求椭圆\(C\)的标准方程；
（2）是否存在与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点的直线\(l:y=kx+m\)，使得\[\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}\right|\]成立．若存在，求出实数\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 （1）椭圆\(C:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)；
（2）设\(A\left(\cos\theta_1,\sqrt 3\sin\theta_1\right)\)，\(B\left(2\cos\theta_2,\sqrt 3\sin\theta_2\right)\)．
由\[\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}\right|\]得\[4\cos\theta_1\cos\theta_2+3\sin\theta_1\sin\theta_2=0.\qquad\cdots (*).\]而直线\(AB\)的截距\[m=\dfrac{\sqrt 3\sin\left(\theta_1-\theta_2\right)}{\cos\theta_2-\cos\theta_1}.\qquad\cdots (**).\]
令\(\theta_1+\theta_2=\alpha\)，\(\theta_1-\theta_2=\beta\)，则
由(*)得\[\cos\alpha+7\cos\beta=0,\]由(**)得\[m^2=3\cdot\dfrac{1+\cos\beta}{1-\cos\alpha},\]将上式代入，得\[m^2=\dfrac 37\cdot\left(1+\dfrac{6}{1-\cos\alpha}\right),\]因此\(m\)的取值范围是\(\left(-\infty,\sqrt{\dfrac{12}{7}}\right]\cup\left[\sqrt{\dfrac{12}{7}},+\infty\right)\)．
注 事实上，条件\[\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}\right|\]即\(\overrightarrow{OA}\perp 2\overrightarrow{OB}\)，于是直线\(l\)为椭圆的姊妹圆之一\[x^2+y^2=\dfrac{1}{\dfrac 14+\dfrac 13}=\dfrac{12}7\]的切线，立得\(m\)的取值范围是\(\left(-\infty,\sqrt{\dfrac{12}{7}}\right]\cup\left[\sqrt{\dfrac{12}{7}},+\infty\right)\)．
最后给出一组练习．
练习1、（2014年北京海淀一模）已知\(A\)、\(B\)是椭圆\(C:2x^2+3y^2=9\)上两点，点\(M\)的坐标为\((1,0)\)．
（1）当\(A\)、\(B\)两点关于\(x\)轴对称，且三角形\(MAB\)为等边三角形时，求\(AB\)的长；
（2）当\(A\)、\(B\)两点不关于\(x\)轴对称时，证明：三角形\(MAB\)不可能为等边三角形．
练习2、（2014年北京通州二模）已知点\(Q\)为直线\(x=-4\)上的动点，过点\(Q\)作直线\(l\)垂直于\(y\)轴，动点\(P\)在直线\(l\)上，且满足\(OP\perp OQ\)（\(O\)为坐标原点），记动点\(P\)的轨迹为\(C\)．
（1）求曲线\(C\)的方程；
（2）设\(A\)、\(B\)为曲线\(C\)上的两点，且直线\(AB\)与\(x\)轴不垂直．若线段\(AB\)中点的横坐标为\(2\)，求证：线段\(AB\)的垂直平分线过定点．
练习3、已知\(A\)，\(B\)为椭圆\(\dfrac {x^2}8+\dfrac {y^2}2=1\)上的两点，弦\(AB\)的长为\(\dfrac 83\)，求三角形\(AOB\)的面积范围．
参考答案
练习1、（1）\(AB\)的长为\(\dfrac{14\sqrt 3}{9}\)或\(\dfrac{2\sqrt 3}3\)．（2）略．
提示 （2）证明椭圆上一点\(P\)到\(M\)的距离是关于\(P\)点横坐标的单调函数即可．
练习2、（1）曲线\(C:y^2=4x\)；（2）线段\(AB\)的垂直平分线过定点\((4,0)\)．
提示 （2）设\(A\left(4a^2,4a\right)\)，\(B\left(4b^2,4b\right)\)．
练习3、\(\left[\dfrac {8\sqrt 2}9,2\right]\)，http://lanqi.org/?p=438