每日一题[45] n阶周期点

已知函数\(f(x)\)的定义域和值域都为\([0,1]\)，\(f_1(x)=f(x)\)，\(f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)\)，称方程\(f_n(x)=x\)的解为\(f(x)\)的\(n\)阶周期点．函数\[f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1\end{cases}\]的\(n\)阶周期点的个数为________．

 注意从映射的角度分析函数\[f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant\dfrac 12\\2-2x,&\dfrac 12<x\leqslant 1\end{cases}\]也即\[f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant 2x\leqslant 1\\2-2x,&1<2x\leqslant 2\end{cases}\]

首先将参与运算的\(x\)扩大到原来的两倍，然后不超过\(1\)的部分保持不变，超过\(1\)的部分作关于\(1\)（因为和为\(2\)）的对称，如图

于是考虑函数图象和直线\(y=x\)的交点，易得函数\(f(x)\)的\(n\)阶周期点的个数为\(2^n\)个．

2015年3月15日，补充练习题一枚．

已知\(f(x)\)是定义在\(\mathcal R\)上的奇函数，\(f(x+2)=f(x)\)，当\(x\in (0,1]\)时，\(f(x)=1-2\left|x-\dfrac 12\right|\)，则\(f\left(f(x)\right)=\dfrac{5}{4(x-1)}\)在区间\([-1,3]\)内的所有不等实根之和为_______．

答案是\(6\)．