如图，梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallel BC\)，\(\angle ABD=15^\circ\)，\(BC=BD\)，\(CD=CE\)．求证：三角形\(ABC\)为等腰直角三角形．
我是用三角方法解的，征求纯平面几何方法．
设\(BC=1\)，\(\angle CBD=2x\)，则\(CD=2\sin x\)．
在三角形\(ADC\)中应用正弦定理，有\[\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{CD}{\sin\angle CAD},\]于是\[\frac{AC}{\sin\left(x+90^\circ\right)}=\frac{2\sin x}{\sin\left(90^\circ-3x\right)},\]所以\[AC=\frac{\sin 2x}{\cos 3x}.\]
在三角形\(ABC\)中应用正弦定理，有\[\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC},\]于是\[\frac{AC}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{1}{\sin\left(x+75^\circ\right)},\]整理得\[\frac{\sin 2x}{\sin\left(2x+15^\circ\right)}=\frac{\cos 3x}{\sin\left(x+75^\circ\right)}.\]
显然，\(0<x<30^\circ\)，在此区间左侧单调递增，右侧单调递减（可以由导数证明），因此有唯一实数解\(x=15^\circ\)．
进而不难得到三角形\(ABC\)为等腰直角三角形．
我构想的辅助线是这样的：
