每日一题[40] 构造双曲线解题

已知三角形\(ABC\)中,\(AM\)为\(BC\)边上的中线(\(M\)在\(BC\)边上),且满足\(AM=AB-AC\),\(BC=4\).求点\(A\)到直线\(BC\)距离的最大值.


cover 如图建系.

QQ20150213-8

设\(AM=2a\),则\(A\)点为双曲线\[E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,a^2+b^2=4\qquad\cdots (1)\]和圆\[F:x^2+y^2=4a^2\qquad\cdots (2)\]的交点.

于是(2)式两边同时除以\(a^2\)再减去(1)式可得\[\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=3,\]进而\[y^2=\dfrac 32\cdot\dfrac{2}{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}\leqslant \dfrac 32\cdot\dfrac {a^2+b^2}2=3,\]等号当且仅当\(a=b=\sqrt 2\)时取得.

因此所求点\(A\)到直线\(BC\)的最大距离为\(\sqrt 3\).


 点评    看到三角形的两边之差,自然联想到双曲线;看到三角形的两边之和,自然联想到椭圆.可以尝试用类似的方法解决下面的问题:

在三角形\(ABC\)中,\(AB+AC>2BC\),求证 :\(B+C>2A\).

QQ20150213-9

如图,以\(B,C\)为焦点,\(2BC\)为长轴长作椭圆,则三角形\(ABC\)的顶点\(A\)在椭圆外部,因此\[A<\angle BA_1C\leqslant\angle BA_2C=\dfrac{\pi}3,\]也即\[B+C>2A.\]

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每日一题[40] 构造双曲线解题》有 2 条评论

  1. 大雨说:

    感觉这里对圆锥曲线第一定义的应用有点炉火纯青了,在此题中由于AM并不是定值导致我对运用双曲线定义心生惬意。这个双曲线的构造真是神来之笔!
    另外运用均值定理的那个式子好像多了三个点儿。

  2. L-ELF说:

    这些题目真好

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