每日一题[43] 必要条件探路

一般而言，在进行问题的转化的时候主要特别注意问题的等价性，也就是需要同时考虑充分性和必要性．但很多时候，为了寻求突破口（尤其是突然有个猜想）时，往往需要先利用必要条件（或充分条件）探路，然后随后验证其充分性（或必要性）．

下面一道题目来自2015年北京西城高三期末理科数学．

设\(D\)为不等式组\[\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}\]表示的平面区域，点\(B(a,b)\)为坐标平面\(xOy\)内的一点，若对于区域\(D\)内的任一点\(A(x,y)\)，都有\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1\)成立，则\(a+b\)的最大值是________．

一方面，取平面区域\(D\)内的一点\(A\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\)，由题意可得\[\frac 12a+\frac 12b\leqslant 1,\]于是\[a+b\leqslant 2.\]

另一方面，取点\(B(1,1)\)，则此时\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x+y,\]根据\(D\)的不等式组表达，有\(x+y\leqslant 1\)，于是\(a+b\)可以取到\(2\)．

综上所述，\(a+b\)的最大值为\(2\)．

下面给出两道练习题．

1、若\(a\geqslant 0\)，\(b\geqslant 0\)，且当\[\begin{cases}x\geqslant 0\\y\geqslant 0\\x+y\leqslant 1\end{cases}\]时，恒有\(ax+by\leqslant 1\)，则\(P(a,b)\)所形成的平面区域的面积等于________．

2、若不等式\(a\cos x+b\cos{2x}\leqslant 1\)对一切实数\(x\)均成立，求\(a+b\)的最大值与最小值．

参考答案

1、\(0\leqslant a\leqslant 1\)，\(0\leqslant b\leqslant 1\)，面积为\(1\)．

2、最大值为\(1\)，最小值为\(-2\)．

提示    令\(\cos x=\cos{2x}\)，解得\(\cos x=-\dfrac 12\lor\cos x=1\)，分别代入再验证充分性即可．