圆锥曲线试题一则

这是2014年12月11日，我的学生朱怡洁问我的一道圆锥曲线试题：

已知\(A\)，\(B\)为椭圆\(\dfrac {x^2}8+\dfrac {y^2}2=1\)上的两点，弦\(AB\)的长为\(\dfrac 83\)，求三角形\(AOB\)的面积范围．

如果用常规的方法解运算繁杂，有没有运算较为简便的方法呢？

在这里我给出两种方法：

参数方程的方法

设\(A(2\sqrt 2 \cos \theta_1,\sqrt 2 \sin \theta_1),B(2\sqrt 2\cos \theta_2,\sqrt 2 \sin \theta_2)\)则

\[AB^2=8(\cos \theta_1-\cos \theta_2)^2+2(\sin \theta_1-\sin \theta_2)^2=\dfrac {64}9.\]

同时

\[S_{\triangle AOB}=\dfrac 12\left|2\sqrt 2 \cos \theta_1\cdot\sqrt 2 \sin \theta_2 -\sqrt 2 \sin \theta_1 \cdot2\sqrt 2\cos \theta_2\right|=2\left|\sin(\theta_1-\theta_2)\right|.\]

为了建立两个式子之间的联系，我们设\[\alpha=\dfrac {\theta_1+\theta_2}2,\beta=\dfrac {\theta_1-\theta_2}2,\]那么经过和差化积，条件转化为

\[(3\sin^2\alpha+1)\sin^2\beta=\dfrac 89,\]

欲求面积转化为\(2\left|\sin 2\beta\right|\)．

接下来容易求得\(\sin^2\beta\)的范围，从而求得\(2|\sin 2\beta|\)的范围为\(\left[\dfrac {8\sqrt 2}9,2\right]\)．

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仿射变换的方法

如图作变换，则椭圆变为圆心在原点，半径为\(2\sqrt 2\)的圆，设\(A\to C,B\to D\)，则

\[S_{\triangle AOB}=\dfrac 12S_{\triangle COD}.\]

而相比较而言，三角形\(COD\)的面积比较好求．

设\(AB\)的斜率为\(k\)，则由于\(2b=2\sqrt 2>\dfrac 83\)，因此\(k\in \mathcal R\)．

根据弦长公式，\[\dfrac {CD}{AB}=\dfrac {\sqrt {1+4k^2}\cdot \left|x_C-x_D\right|}{\sqrt {1+k^2}\cdot \left|x_A-x_B\right|}=\sqrt {\dfrac {1+4k^2}{1+k^2}}.\]

因此\(\dfrac 12CD\)的取值范围为\(\left[\dfrac 43,\dfrac 83\right]\).进而三角形\(OCD\)的面积为\[\dfrac 12CD\cdot \sqrt {8-\left(\dfrac 12CD\right)^2}.\]不难算得其取值范围为\(\left[\dfrac {16\sqrt 2}9,4\right]\)．因此所求取值范围为\(\left[\dfrac {8\sqrt 2}9,2\right]\)．

一种是强硬的代数变形，另外一种是巧妙的几何转化，你更喜欢哪种呢？

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2016年5月30日补充练习题．

已知椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$上两点$A,B$，且$\angle AOB=60^\circ$，求$\triangle AOB$面积的取值范围．

解    设$OA,OB$的斜率分别为$k_1,k_2$，则$$\dfrac{|k_1-k_2|}{1+k_1k_2}=\sqrt 3.$$作仿射变换$$x'=x,y'=2y,$$点$A,B$变为$A',B'$，则$OA',OB'$的斜率分别为$2k_1,2k_2$，设$\angle A'OB'=\theta$，则$$S_{\triangle AOB}=\dfrac 12S_{\triangle A'OB'}=\sin\theta.$$考虑$$|\tan \theta|=\dfrac{|2k_1-2k_2|}{1+4k_1k_2}=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \left|\dfrac{1+k_1k_2}{\dfrac 14+k_1k_2}\right|.$$

由$$\dfrac{|k_1-k_2|}{1+k_1k_2}=\sqrt 3$$不难求出$k_1k_2$的取值范围是$k_1k_2\leqslant -3$或$k_1k_2\geqslant -\dfrac 13$．这样，可得$|\tan\theta|$的取值范围是$\left[\dfrac{4\sqrt  3}11,+\infty\right)$，于是$\sin\theta$的取值范围是$\left[\dfrac{4\sqrt 3}{13},1\right]$，也即$\triangle AOB$面积的取值范围是$\left[\dfrac{4\sqrt 3}{13},1\right]$．