据说这是2015年高三泰州二模的第14题．
在三角形\(ABC\)中，\(D\)为边\(AC\)上一点，\(AB=AC=6\)，\(AD=4\)，若三角形\(ABC\)的外心\(O\)恰在线段\(BD\)上，则\(BC=\)_______．
一类收敛级数的求和方法
2008年全国高中数学联赛江苏初赛涉及到了这样一个级数：\[\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n},\]原题是证明\(\dfrac{25}{36}\)是它的上界（证明方法是放缩裂项）．事实上，考虑到该级数即\[\sum_{k=1}^{2n}{\dfrac 1k}-\sum_{k=1}^{n}{\dfrac 1k},\]于是当\(n\to \infty\)时，该级数收敛于\[\lim_{n\to \infty}{\left(\sum_{k=1}^{2n}{\dfrac 1k}-\sum_{k=1}^{n}{\dfrac 1k}\right)}=\ln 2.\]这就相当于得到了\[\sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{2n(2n-1)}}=\ln 2.\]
但是这一方法无法求如下的收敛级数的极限：\[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3n(3n+1)}.\]那么对此类无法直接裂项的收敛级数，该如何处理呢？
每日一题[78] 对数函数的齐次化构造
已知\(f(x)=\ln x-\dfrac 1x\)与\(g(x)=ax\)交于两点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，求证：\(x_1x_2>2{\mathrm e}^2\)．
每日一题[77]何以解忧？唯有参方
已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)，直线\(y=\dfrac{1}{2}x+1\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M\)在椭圆上，\(\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}\)，求椭圆方程．
正弦型波的合成
我们都知道一般来说两个正弦型波合成后的波形会比较奇怪．
但是同频率的正弦型波是可以合成为一个同样频率的正弦型波的，只不过合成的波的振幅和初相位会发生改变，如图．
那么这种合成遵循什么样的规律呢？
练习题[17] 创新能力培养基础练习
1、已知\(a,b,c>0\)且\(a^2+b^2+c^2=1\)，则\(\dfrac{(c+1)^2}{abc}\)的最小值为________．
2、已知\(\forall x\in\mathcal Z,\left[px+q\right]=ax+b\)，其中\(a,b\)为非零常数，\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．则实数\(q\)的取值范围是_______．
3、已知圆\(x^2+y^2=4\)上一点\(A(2,0)\)，\(B\)、\(C\)为圆上动点，\(\angle BAC=60^\circ\)，则三角形\(ABC\)的垂心的轨迹方程为_______．
4、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(a_2=6\)，\(3S_n=(n+1)a_n+n(n+1)\)．
（1）求\(a_1\)，\(a_3\)；
（2）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式；
（3）已知数列\(\left\{b_n\right\}\)的通项公式是\(b_n=\sqrt{a_n}\)，\(c_n=b_{n+1}-b_n\)．试判断数列\(c_n\)是否是单调数列，并证明：\(\forall n\in \mathcal N^*,1<c_n\leqslant \sqrt{6}-\sqrt{2}\)．
5、椭圆\(\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1\)，直线\(y=\dfrac{1}{2}x\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，\(C\)、\(D\)为椭圆上异于\(A\)、\(B\)的任意两点，\(AC\)交\(BD\)于\(M\)，\(AD\)交\(BC\)于\(N\)．求证：直线\(MN\)的斜率为定值．
6、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的首项\(a_1=a\)（\(a\neq 1\)），且满足递推式\[a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{2\left(a_n-1\right)}.\]求\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．
7、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的各项均为正数，它的前\(n\)项之和\[S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,\]前\(n\)项的倒数之和\[T_n=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}.\]对于任意的正整数\(n\)，均有\[\left(2-S_n\right)\left(1+T_n\right)=2.\]
（1）求\(a_1\)，\(a_2\)的值；
（2）设\(b_n=2-S_n\)，求证：数列\(\left\{b_n\right\}\)是等比数列；
（3）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．
每日一题[76] 正方体中的不变量
在正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)中，若点\(P\)（异于点\(B\)）是棱上一点，则满足\(BP\)和\(AC'\)所成的角为\(45^\circ\)的点\(P\)的个数为______． 
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每日一题[75]阿贝尔求和
设\(n\)为给定的不小于\(5\)的正整数，考察\(n\)个不同的正整数\(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\)构成的集合\(P=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}\)，若集合\(P\)的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合\(P\)为“差异集合”．
（1）分别判断集合\(A=\left\{1,3,8,13,23\right\}\)，集合\(B=\left\{1,2,4,8,16\right\}\)是否是“差异集合”（只需写出结论）；
（2）设集合\(P=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}\)是“差异集合”，记\(b_i=a_i-2^{i-1}\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），求证：数列\(\left\{b_i\right\}\)的前\(k\)项和\(D_k\geqslant 0\)（\(k=1,2,\cdots,n\)）；
（3）设集合\(P=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}\)是“差异集合”，求\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\)的最大值．
每日一题[74]寻找对称中心
（2012年·四川·理）设函数\(f(x)=2x-\cos x\)，\(\left\{a_n\right\}\)是公差为\(\dfrac{\pi}8\)的等差数列，\(f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_5)=5\pi\)，则\(\left[f(a_3)\right]^2-a_1a_5=\)_______．