每日一题[80]利用向量处理外心

据说这是2015年高三泰州二模的第14题．

在三角形\(ABC\)中，\(D\)为边\(AC\)上一点，\(AB=AC=6\)，\(AD=4\)，若三角形\(ABC\)的外心\(O\)恰在线段\(BD\)上，则\(BC=\)_______．

设\(\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\left(1-\lambda\right)\overrightarrow{AD}\)，根据题意可知\[\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(1-\lambda\right)\overrightarrow{AC},\]考虑到三角形\(ABC\)为等腰三角形，于是\[\lambda=\dfrac{2}{3}\left(1-\lambda\right),\]解得\[\lambda=\dfrac 25,\]因此有\[\overrightarrow{AO}=\dfrac 25\overrightarrow{AB}+\dfrac 25\overrightarrow{AC},\]两边对\(\overrightarrow{AB}\)作数量积，有\[\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac 25\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac 25\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB},\]由此不难解得\[\cos A=\dfrac 14,\]进而由余弦定理得\[BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A=54,\]于是\[BC=3\sqrt 6.\]