每日一题[77]何以解忧?唯有参方

已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\))的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\),直线\(y=\dfrac{1}{2}x+1\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点,点\(M\)在椭圆上,\(\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}\),求椭圆方程.


cover由于离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\),于是\(a^2=4b^2\),因此可设点\(A\)、\(B\)的坐标分别为\(A\left(2b\cos\alpha,b\sin\alpha\right)\),\(B\left(2b\cos\beta,b\sin\beta\right)\).

于是由\(\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}\)可得\[M\left(b\cdot\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right),b\left(\dfrac 12\sin\alpha+\dfrac{\sqrt 3}2\sin\beta\right)\right),\]点\(M\)在椭圆上,于是可得\[\dfrac{\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\sin\alpha+\sqrt 3\sin\beta\right)^2}{4}=1,\]化简得\[\cos\left(\alpha-\beta\right)=0.\]

另一方面,点\(A\)在直线\(y=\dfrac 12x+1\)上,可得\[b\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot2b\cos\alpha+1,\]即\[\dfrac 1b=\sin\alpha-\cos\alpha,\]类似的,有\[\dfrac 1b=\sin\beta-\cos\beta.\]

因此有\[\begin{split}\dfrac{1}{b^2}&=\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)\left(\sin\beta-\cos\beta\right)\\&=\cos\left(\alpha-\beta\right)-\sin\left(\alpha+\beta\right)\\&=-\sin\left(\alpha+\beta\right).\end{split}\]

而同时\[\sin\alpha-\sin\beta=\cos\alpha-\cos\beta,\]和差化积,可得\[\tan{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}=-1,\]代入上式,可得\[b^2=1,\]于是所求的椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{4}+y^2=1.\]

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每日一题[77]何以解忧?唯有参方》有 2 条评论

  1. lch说:

    最后一步应该是4,不是3

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