1、（2015年·新课标·文16）已知\(F\)是双曲线\(C:x^2-\dfrac{y^2}{8}=1\)的右焦点，\(P\)是\(C\)的左支上一点，\(A\left(0,6\sqrt 6\right)\)，当\(\triangle APF\)周长最小时，该三角形的面积是_______．
2、（2015年·湖南·理15）已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^3,&x\leqslant a\\x^2,&x>a,\end{cases}\)若存在实数\(b\)，使得\(g(x)=f(x)-b\)有两个零点，则\(a\)的取值范围是_______．
3、（2015年·陕西·理16）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠的界面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前的最大流量的比值为_______．
4、（2014年·湖北·预赛7）在四面体\(ABCD\)中，\(AB=AC=3\)，\(BD=BC=4\)，\(BD\perp ABC\)，则四面体\(ABCD\)的外接球的半径为_______．
5、如图，求四边形\(ABDC\)的面积．
6、（2014年·北京丰台·一模理8）如果某年年份的各位数字之和为\(7\)，，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份\(2014\)的各位数字之和为\(7\)，所以今年恰为“七巧年”．那么从\(2000\)年到\(2999\)年中“七巧年”共有_______个．
7、用\(a\)代表红球，\(b\)代表蓝球，\(c\)代表黑球，由加法原理及乘法原理，从\(1\)个红球和\(1\)个蓝球中取出若干个球的所有取法可由\((1+a)(1+b)\)的展开式\(1+a+b+ab\)表示出来，如：“\(1\)”表示一个球都不取、“\(a\)”表示取出一个红球，而“\(ab\)”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从\(5\)个无区别的红球、\(5\)个无区别的蓝球、\(5\)个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．\(\left(1+a+a^2+a^3+a^4+a^5\right)\left(1+b^5\right)\left(1+c\right)^5\)
B．\(\left(1+a^5\right)\left(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5\right)\left(1+c\right)^5\)
C．\(\left(1+a\right)^5\left(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5\right)\left(1+c^5\right)\)
D．\(\left(1+a^5\right)\left(1+b\right)^5\left(1+c+c^2+c^3+c^4+c^5\right)\)
此时\(BD=CD\)，所以\(\dfrac{CP}{PF}=2\)， 由梅氏定理可得\(\dfrac{CP}{PF}\cdot \dfrac{AF}{AB}\cdot\dfrac{BD}{DC}=1\)， 所以\(AF=BF\)，即\(P\)为重心． 情况二 如图②，\(S_{\triangle APF}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle PDC}\)； 
可得\(S_{\triangle AFC}=S_{\triangle ADC}\)， 所以\(DF\parallel AC\)， 所以\(D,F\)分别为\(BC,AB\)中点，即\(P\)为重心． 情况三 如图③，\(S_{\triangle FBP}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle AEP}\)； 
此时有\(DE\parallel AB\)， 根据塞瓦定理得\(\dfrac{AF}{BF}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot \dfrac{CE}{AE}=1\)， 所以\(AF=BF\)，于是\(S_{\triangle APF}=S_{\triangle BPF}\)， 由情况①可得\(P\)为重心． 情况四 如图④，\(S_{\triangle AFP}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle PCE}\)； 
根据塞瓦定理得\(\dfrac{S_{\triangle BDP}}{S_{\triangle PDC}}\cdot \dfrac{S_{\triangle PCE}}{S_{\triangle APE}}\cdot \dfrac{S_{\triangle AFP}}{S_{\triangle BFP}}=1\)， 设相等的三角形面积为\(a\)，\(\triangle APE,\triangle CDP\)与\(\triangle BFP\)的面积分别为\(x,y\)与\(z\)，所以\(xyz=a^3\)． ① 若\(x,y,z\)互不相等，不妨设\(x>y>z\)，则\(x>a\)，\(z<a\)，但\[1<\dfrac xa=\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{S_{\triangle AEP}}{S_{\triangle CEP}}=\dfrac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\dfrac{a+z}{a+y}<1，\]结论矛盾； ② 若\(x,y,z\)中有相等，不妨设\(x=y\)，则\(\dfrac az=\dfrac {a+x}{a+y}=1\)，所以\(a=z\)， 由\(xyz=a^3\)得\(xy=a^2\)，所以\(x=y=z=a\)， 即点\(D,E,F\)分别为各边的中点，\(P\)为重心． 综上，点\(P\)必为\(\triangle ABC\)的重心．