Math173

解析几何问题的基本解题思路，就是借助点的坐标来表达条件，设直线的方程将坐标统一为横坐标或纵坐标，最后利用直线方程与椭圆方程的联立进行消参．但是，在实际的解题实践中，很多几何条件并不方便借助点的直角坐标来表达，此时恰当地引入极坐标处理问题会大幅简化运算．一般适用于极坐标表达的条件有：垂直、特殊三角形等等．

例1、利用极坐标表达垂直．

（2014年高考北京卷理科数学第19题）已知椭圆\(C:x^2+2y^2=4\)．

（1）求椭圆\(C\)的离心率；
（2）设\(O\)为原点，若点\(A\)在椭圆\(C\)上，点\(B\)在直线\(y=2\)上，且\(OA\perp OB\)，试判断直线\(AB\)与圆\(x^2+y^2=2\)的位置关系，并证明你的结论．

（1）解    \(e=\dfrac {\sqrt 2}2\)；

（2）解    设\(A(\rho_A \cos\theta,\rho_A \sin\theta),B\left(\rho_B \cos\left(\theta+\dfrac {\pi}2\right),\rho_B \sin \left(\theta+\dfrac {\pi}2\right)\right)\)则\[\begin{split}\rho_A^2\cos^2\theta+2\rho_A^2\sin^2\theta&=4,\\\rho_B\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}2\right)&=2.\end{split}\]从而\[\dfrac 1{\rho_A^2}=\dfrac 14\cos^2\theta+\dfrac 12\sin^2\theta,\dfrac 1{\rho_B^2}=\dfrac 14\cos^2\theta.\]而在\(\mathrm{Rt}\triangle OAB\)中，原点到直线\(AB\)的距离\(d\)满足\[\dfrac 1{d^2}=\dfrac 1{OA^2}+\dfrac 1{OB^2}=\dfrac 12.\]因此直线\(AB\)与圆\(x^2+y^2=2\)相切．

 例2、利用极坐标表达特殊三角形．

（2014年北京东城二模）已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)的一个焦点为\(F(2,0)\)，且离心率为\(\dfrac{\sqrt 6}3\)．

（1）求椭圆方程；

（2）斜率为\(k\)的直线\(l\)过点\(F\)，且与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，\(P\)为直线\(x=3\)上的一点，若三角形\(ABP\)为等边三角形，求直线\(l\)的方程．

（1）解    椭圆方程为\[\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}2=1.\]

（2）解    设直线\(AB\)的倾斜角为\(\theta\)，线段\(AB\)的中点为\(M\)．

由椭圆的极坐标方程得\[\begin{split}\overrightarrow{FA}&=\dfrac{2}{\sqrt 6+2\cos\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right),\\\overrightarrow{FB}&=-\dfrac{2}{\sqrt 6-2\cos\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right),\end{split}\]进而可得\[\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{FB}=\dfrac{4\sqrt 6}{6-4\cos^2\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right),\]于是\[\begin{split}\overrightarrow{MP}&=\dfrac{\sqrt 3}2\left|\overrightarrow{BA}\right|\left(\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right),\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right)\right)\\&=\dfrac{6\sqrt 2}{6-4\cos^2\theta}\left(\sin\theta,-\cos\theta\right).\qquad\cdots (*)\end{split}\]

另一方面，由中点坐标公式，有\[\overrightarrow{FM}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}\right)=\left(-\dfrac{4\cos^2\theta}{6-4\cos^2\theta},-\dfrac{4\cos\theta\sin\theta}{6-4\cos^2\theta}\right),\]因此\(M\)的横坐标为\[2-\dfrac{4\cos^2\theta}{6-4\cos^2\theta}.\qquad\cdots (**)\]

于是由(*)(**)有两种方式表达\(\overrightarrow{MP}\)的横坐标，可以得到方程\[3-\left(2-\dfrac{4\cos^2\theta}{6-4\cos^2\theta}\right)=\dfrac{6\sqrt 2}{6-4\cos^2\theta}\cdot\sin\theta,\]解得\[\sin\theta=\dfrac{\sqrt 2}2,\]进而可得直线\(l\)的方程为\[l:x=\pm y+2.\]

 下面给出几道练习题．

练习1、（2014年北京丰台二模）已知椭圆\(E:\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1\)与直线\(l:y=kx+m\)交于\(A,B\)两点，\(O\)为坐标原点．

（1）若直线\(l\)过椭圆\(E\)的左焦点，且\(k=1\)，求三角形\(AOB\)的面积；

（2）若\(OA\perp OB\)，且直线\(l\)与圆\(O:x^2+y^2=r^2\)相切，求圆\(O\)的半径\(r\)的值．

练习2、双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>a>0)\)，\(O\)为坐标原点，离心率\(e=2\)，点\(M\left(\sqrt 5,\sqrt 3\right)\)在双曲线上．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线\(l\)与双曲线交于\(P\)、\(Q\)两点，且\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0\)，求\(\dfrac{1}{OP^2}+\dfrac{1}{OQ^2}\)的值．

练习3、已知点\(P_1,P_2,\cdots,P_n\)为椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上的\(n\)个点，且\(OP_1,OP_2,\cdots,OP_n\)将原点处的周角\(n\)等分．求证\[\dfrac{1}{OP_1^2}+\dfrac{1}{OP_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{OP_n^2}\]为定值．

练习4、求抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的内接等腰直角三角形面积的最小值．

练习5、在平面直角坐标系\(xOy\)中，直角三角形\(ABC\)的三个顶点都在椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\)（\(a>0\)）上，其中\(A(0,1)\)为直角顶点，若该三角形的面积的最大值为\(\dfrac{27}{8}\)，求\(a\)的值．

参考答案：练习1、（1）\(8/3\)；（2）\(\dfrac{2\sqrt 6}3\)．

练习3、（1）\(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1\)；（2）定值为\(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}=\dfrac 16\)．

练习3、定值为\(\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)．

练习4、http://lanqi.org/?p=632

练习5、\(3\)．