已知\[\frac{a}{k^2+1}+\frac{b}{k^2+2}+\frac{c}{k^2+3}+\frac{d}{k^2+4}+\frac{e}{k^2+5}+\frac{f}{k^2+6}=\frac{1}{k^2}\]对\(k=1,2,3,4,5,6\)均成立，求\(a+b+c+d+e+f\)的值．
令\(x=k^2\)，通分，有\[ax(x+2)(x+3)\cdots (x+6)+bx(x+1)(x+3)\cdots (x+6)+\cdots =(x+1)(x+2)\cdots (x+6)\]即\[(a+b+c+d+e+f-1)x^6+(\cdots )x^5+\cdots -6!=0.\]
这个六次方程的根分别为\(1^2,2^2,\cdots,6^2\)，于是由韦达定理\[1^2\cdot 2^2\cdots 6^2=\frac{-6!}{a+b+c+d+e+f-1},\]进而解得\[a+b+c+d+e+f=\frac{719}{720}.\]
点评 看到和式、积式、积的轮换和式需要联想韦达定理．
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