每日一题[35] 二阶不动点

今天的题目是2013年四川高考理科数学卷选择题的最后一题改成的填空题.

设函数\(f(x)=\sqrt{{\mathrm e}^x+x-a}\)(\(a\in\mathcal R\)).若曲线\(y=\sin x\)上存在点\((x_0,y_0)\)使得\(f(f(y_0))=y_0\),则\(a\)的取值范围是_________.


cover 这里需要一些预备知识.

对于函数\(y=f(x)\),方程\(f(x)=x\)的根称为函数\(f(x)\)的(一阶)不动点;方程\(f(f(x))=x\)的根称为函数\(f(x)\)的二阶不动点.当然,我们也可以以此类推定义\(n\)阶不动点.有以下引理:

方程\(f\left(f(x)\right)=x\)的解为曲线\(y=f(x)\)与曲线\(x=f(y)\)(这两条曲线关于直线\(y=x\)对称)的交点的横坐标.


回到本题,根据引理,不难求得,\(a\)的取值范围是\([1,{\mathrm e}]\).如图.

QQ20150322-3 QQ20150322-4

点评    这是处理\(f(f(x))=x\)的常用方法.下面给出两道自主招生题作为练习.

1、(2008年上海交大)已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\),且\(f(x)=x\)没有实数根.问:\(f(f(x))=x\)是否有实数根?请证明你的结论.

2、(2009年上海交大)证明:若\(f(f(x))\)有唯一不动点,则\(f(x)\)也有唯一不动点.


2015年3月22日补充

易错题    已知函数\(f(x)={\rm e}^x+x^2-a\),方程\(f\left(f(x)\right)=x\)在区间\([0,1]\)上有且只有一个解,求\(a\)的取值范围.

QQ20150322-1 QQ20150322-2

 练习题    已知函数\(f(x)=\left|x^2-ax\right|-2\),且函数\(y=f(x+2)\)是偶函数.

(1)求实数\(a\)的值;

(2)设函数\(y=g(x)\),集合\(M=\left\{x\left|g(x)-x=0\right.\right\}\),\(N=\left\{x\left|g\left(g(x)\right)-x=0\right.\right\}\).

① 证明:\(M\subseteq N\);

② 如果\(g(x)=f\left(\left|x\right|\right)\),集合\(P=\left\{x\left|g\left(g(x)\right)-x=0\land \left|\right.x\left.\right|\leqslant 2\right.\right\}\),那么集合\(P\)中的元素个数为_______.

参考答案    (1)\(a=4\);(2)①略;②\(5\).

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  4. 大雨说:

    有点搞晕乎了,是不是说f(x)有几个不动点,就有几个二阶不动点?

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