Math173

1、（2015年北京市东城区高三期末理科）

对于数列\(A:a_1,a_2,a_3\)（\(a_i\in\mathcal N,i=1,2,3\)），定义\(T\)变换：\(T\)将数列\(A\)变换成数列\(B:b_1,b_2,b_3\)，其中\(b_i=\left|a_i-a_{i+1}\right|\)（\(i=1,2\)），且\(b_3=\left|a_3-a_1\right|\)．继续对数列\(B\)进行\(T\)变换，得到数列\(C:c_1,c_2,c_3\)，依次类推，当得到的数列各项均为\(0\)时变换结束．

（1）试问数列\(A:2,6,4\)经过不断的\(T\)变换能否结束？若能，请依次写出经过\(T\)变换得到的各数列；若不能，请说明理由．

（2）设数列\(A:a_1,a_2,a_3\)，对数列\(A\)进行\(T\)变换，得到数列\(B:b,2,a\)（\(a\geqslant b\)），若数列\(B\)的各项之和为\(2014\)，求\(a,b\)的值；

（3）在（2）的条件下，若数列\(B\)再经过\(k\)次\(T\)变换得到的数列各项之和最小，求\(k\)的最小值，并说明理由．

 2、数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=a\)，\(a\in\mathcal N^*\)，\[a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac 13a_n,&3|a_n,\\a_n+1,&3\nmid a_n.\end{cases}\]集合\(A=\left\{x\left|\right. x=a_n,n\in\mathcal N^*\right\}\)．

（1）\(a_4\)是数列\(\left\{a_n\right\}\)中首次为\(4\)的项，写出所有满足条件的数列的首项；

（2）求证：\(\{1,2,3,\}\subseteq A\)．

（3）\(a\leqslant 2014\)时，求\(A\)中元素个数的最大值．

 3、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_n\in\mathcal N^*\)，\(a_1=1\)，\[a_{n+1}=\begin{cases}a_n-n,&a_n>n\\a_n+n,&a_n\leqslant n.\end{cases}\]

（1）写出\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)；

（2）取出所有\(a_i=1\)的\(i\)从小到大排列得到\(\left\{n_k\right\}\)，用\(n_k\)表示\(n_{k+1}\)；

（3）求最小值的\(n\in\mathcal N^*\)，使得\(a_n=2013\)．

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1、（2014年北京市西城二模）设\(A\)、\(B\)是椭圆\(W:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)不关于坐标轴对称的两个点，直线\(AB\)交\(x\)轴于点\(M\)（与点\(A\)、\(B\)）不重合），\(O\)为坐标原点．

（1）如果点\(M\)是椭圆\(W\)的右焦点，线段\(MB\)的中点在\(y\)轴上，求直线\(AB\)的方程；

（2）设\(N\)为\(x\)轴上的一点，且\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4\)．直线\(AN\)与椭圆\(W\)的另外一个交点为\(C\)．证明：点\(B\)与点\(C\)关于\(x\)轴对称．

2、已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点\(F(2,0)\)的距离为\(\sqrt{10}\)，过焦点\(F\)作直线\(l\)，交椭圆于\(A\)、\(B\)两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上有一点\(C\)，使四边形\(AOBC\)恰好为平行四边形，求直线\(l\)的斜率．

3、（2014年北京市朝阳区一模）已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)经过点\(\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．

（1）求椭圆\(C\)的方程；

（2）直线\(y=k(x-1)(k\neq 0\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M\)是椭圆\(C\)的右顶点．直线\(AM\)与直线\(BM\)分别与\(y\)轴交于点\(P\)、\(Q\)．试问以线段\(PQ\)为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

4、（2014年北京市石景山区一模）给定椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，称圆心在原点\(O\)，半径为\(\sqrt{a^2+b^2}\)的圆是椭圆\(C\)的“准圆”．若椭圆\(C\)的一个焦点为\(F\left(\sqrt 2,0\right)\)，其短轴上的一个端点到\(F\)的距离为\(\sqrt 3\)．

（1）求椭圆\(C\)的方程和其“准圆”的方程；

（2）点\(P\)是椭圆\(C\)的“准圆”上动点，过\(P\)作椭圆的切线\(l_1\)、\(l_2\)交“准圆”于点\(M\)、\(N\)．

① 当\(P\)为“准圆”与\(y\)轴正半轴的的交点时，求直线\(l_1\)、\(l_2\)的方程，并证明\(l_1\perp l_2\)；

② 求证：线段\(MN\)的长为定值．

5、（2015年北京市东城区高三期末）已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，短轴长为\(2\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．

（1）求椭圆\(C\)的方程；

（2）设\(P\)是椭圆\(C\)长轴上的一个动点，过\(P\)作斜率为\(\dfrac 12\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(PA^2+PB^2\)为定值．

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1、在空间四边形\(ABCD\)中，两条对角线\(AC\)、\(BD\)互相垂直，且长度分别为\(4\)和\(6\)，平行于这两条对角线的平面与边\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)、\(DA\)分别相交于点\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)，记四边形\(EFGH\)的面积为\(y\)，设\(\dfrac{BE}{AB}=x\)，则（        ）

A．函数\(y=f(x)\)的值域为\(\left(0,4\right]\)

B．函数\(y=f(x)\)的最大值为\(8\)

C．函数\(y=f(x)\)在\(\left(0,\dfrac 23\right)\)上单调递减

D．函数\(y=f(x)\)满足\(f(x)=f(1-x)\)

2、在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(E\)为底面\(ABCD\)上的动点．若三棱锥\(B-D_1EC\)的表面积最大，则\(E\)点位于（        ）

A．点\(A\)处

B．线段\(AD\)的中点处

C．线段\(AB\)的中点处

D．点\(D\)处

3、在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(M\in AA_1\)，\(N\in DD_1\)且\(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{NP}=0\)，\(\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，则\(BP\)与底面\(ABCD\)所成角正切的最大值为_______．

4、正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(1\)，动点\(P\)、\(Q\)分别在棱\(BC\)、\(CC_1\)上，过点\(A\)、\(P\)、\(Q\)的平面截该正方体所得截面记为\(S\)，设\(BP=x\)、\(CQ=y\)，其中\(x,y\in [0,1]\)，下列命题中正确的有_______．

① 当\(x=0\)时，\(S\)为矩形，其面积最大为\(1\)；

② 当\(x=y=\dfrac 12\)时，\(S\)为等腰梯形；

③ 当\(x=\dfrac 12\)，\(y\in\left(\dfrac 12,1\right]\)时，设\(S\)与棱\(C_1D_1\)的交点为\(R\)，则\(RD_1=2-\dfrac 1y\)；

④ 当\(y=\dfrac 12\)时，以\(B_1\)为顶点，\(S\)为底面的棱锥的体积为定值\(\dfrac 13\)．

5、在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PD\perp\)平面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)为正方形，\(PD=AD=2\)．\(M\)、\(N\)分别为线段\(AC\)上的点，若\(\angle MBN=30^\circ\)，则三棱锥\(M-PNB\)体积的最小值为_______．

6、棱长为\(1\)的正方体的正投影面积的取值范围是_______．

7、设\(P\)、\(Q\)为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线\(PQ\)旋转\(\theta\)（\(0<\theta<2\pi\)）角后能与自身重合，那么符合条件的直线\(PQ\)有_______条．

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