1、（2015年北京市东城区高三期末理科）
对于数列\(A:a_1,a_2,a_3\)（\(a_i\in\mathcal N,i=1,2,3\)），定义\(T\)变换：\(T\)将数列\(A\)变换成数列\(B:b_1,b_2,b_3\)，其中\(b_i=\left|a_i-a_{i+1}\right|\)（\(i=1,2\)），且\(b_3=\left|a_3-a_1\right|\)．继续对数列\(B\)进行\(T\)变换，得到数列\(C:c_1,c_2,c_3\)，依次类推，当得到的数列各项均为\(0\)时变换结束．
（1）试问数列\(A:2,6,4\)经过不断的\(T\)变换能否结束？若能，请依次写出经过\(T\)变换得到的各数列；若不能，请说明理由．
（2）设数列\(A:a_1,a_2,a_3\)，对数列\(A\)进行\(T\)变换，得到数列\(B:b,2,a\)（\(a\geqslant b\)），若数列\(B\)的各项之和为\(2014\)，求\(a,b\)的值；
（3）在（2）的条件下，若数列\(B\)再经过\(k\)次\(T\)变换得到的数列各项之和最小，求\(k\)的最小值，并说明理由．
2、数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=a\)，\(a\in\mathcal N^*\)，\[a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac 13a_n,&3|a_n,\\a_n+1,&3\nmid a_n.\end{cases}\]集合\(A=\left\{x\left|\right. x=a_n,n\in\mathcal N^*\right\}\)．
（1）\(a_4\)是数列\(\left\{a_n\right\}\)中首次为\(4\)的项，写出所有满足条件的数列的首项；
（2）求证：\(\{1,2,3,\}\subseteq A\)．
（3）\(a\leqslant 2014\)时，求\(A\)中元素个数的最大值．
3、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_n\in\mathcal N^*\)，\(a_1=1\)，\[a_{n+1}=\begin{cases}a_n-n,&a_n>n\\a_n+n,&a_n\leqslant n.\end{cases}\]
（1）写出\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)；
（2）取出所有\(a_i=1\)的\(i\)从小到大排列得到\(\left\{n_k\right\}\)，用\(n_k\)表示\(n_{k+1}\)；
（3）求最小值的\(n\in\mathcal N^*\)，使得\(a_n=2013\)．
参考答案
1、（1）不能结束；（2）\(a=1007\)，\(b=1005\)；（3）\(k\)的最小值为\(504\)．
提示：（3）\(x,2,x+2\)（\(x\geqslant 12\)）经过\(6\)次\(T\)变换后会变成\(x-12,x,x-10\)．
2、（1）\(10,33,35,108\)；（2）略；（3）\(21\)．
提示：（3）按\(3\)的方幂划分区间观察变化规律，结合\(3\)进制数更加易于理解．
3、（1）\(1,2,4,1,5\)；（2）\(n_{k+1}=3n_k+1\)；（3）\(5817\)．
提示：（2）注意\(a_{n_{k+1}}=n_k+1\)．