1、（2014年北京市西城二模）设\(A\)、\(B\)是椭圆\(W:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)不关于坐标轴对称的两个点，直线\(AB\)交\(x\)轴于点\(M\)（与点\(A\)、\(B\)）不重合），\(O\)为坐标原点．
（1）如果点\(M\)是椭圆\(W\)的右焦点，线段\(MB\)的中点在\(y\)轴上，求直线\(AB\)的方程；
（2）设\(N\)为\(x\)轴上的一点，且\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4\)．直线\(AN\)与椭圆\(W\)的另外一个交点为\(C\)．证明：点\(B\)与点\(C\)关于\(x\)轴对称．
2、已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点\(F(2,0)\)的距离为\(\sqrt{10}\)，过焦点\(F\)作直线\(l\)，交椭圆于\(A\)、\(B\)两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上有一点\(C\)，使四边形\(AOBC\)恰好为平行四边形，求直线\(l\)的斜率．
3、（2014年北京市朝阳区一模）已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)经过点\(\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程；
（2）直线\(y=k(x-1)(k\neq 0\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M\)是椭圆\(C\)的右顶点．直线\(AM\)与直线\(BM\)分别与\(y\)轴交于点\(P\)、\(Q\)．试问以线段\(PQ\)为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
4、（2014年北京市石景山区一模）给定椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，称圆心在原点\(O\)，半径为\(\sqrt{a^2+b^2}\)的圆是椭圆\(C\)的“准圆”．若椭圆\(C\)的一个焦点为\(F\left(\sqrt 2,0\right)\)，其短轴上的一个端点到\(F\)的距离为\(\sqrt 3\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程和其“准圆”的方程；
（2）点\(P\)是椭圆\(C\)的“准圆”上动点，过\(P\)作椭圆的切线\(l_1\)、\(l_2\)交“准圆”于点\(M\)、\(N\)．
① 当\(P\)为“准圆”与\(y\)轴正半轴的的交点时，求直线\(l_1\)、\(l_2\)的方程，并证明\(l_1\perp l_2\)；
② 求证：线段\(MN\)的长为定值．
5、（2015年北京市东城区高三期末）已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，短轴长为\(2\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)．
（1）求椭圆\(C\)的方程；
（2）设\(P\)是椭圆\(C\)长轴上的一个动点，过\(P\)作斜率为\(\dfrac 12\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(PA^2+PB^2\)为定值．
参考答案
1、（1）\(AB:3x\pm 4y-3=0\)；（2）略．
提示：（2）可以利用定比点差法．
2、（1）\(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1\)；（2）\(k=\pm1\)．
提示：（2）可以利用垂径定理．
3、（1）\(\dfrac{x^2}4+y^2=1\)；（2）定点坐标为\(\left(\pm\sqrt 3,0\right)\)．
提示：（2）可以利用定比点差法．
4、（1）\(C:\dfrac{x^2}3+y^2=1\)，\(x^2+y^2=4\)；（2）\(MN=4\)．
提示：（2）可以利用相关直线以及直线与椭圆位置关系的等效判别式．
5、（1）\(C:\dfrac{x^2}4+y^2=1\)；（2）\(PA^2+PB^2=5\)．
提示：（2）可以利用仿射变换．