每日一题[47] 构造映射比大小

今天的题目来自2011年浙江高考理科数学卷第10题(选择压轴题).

设\(a,b,c\)为实数,\(f(x)=(x+a)\left(x^2+bx+c\right)\),\(g(x)=(ax+1)\left(cx^2+bx+1\right)\).记集合\(S=\left\{x\left|\right.f(x)=0,x\in\mathcal R\right\}\),\(T=\left\{x\left|\right.g(x)=0,x\in\mathcal R\right\}\),若\(\mathrm{Card}(S)\)、\(\mathrm{Card}(T)\)分别表示集合\(S\)、\(T\)的元素个数,则下列结论不可能的是(        )

A.\(\mathrm{Card}(S)=1\)且\(\mathrm{Card}(T)=0\)

B.\(\mathrm{Card}(S)=1\)且\(\mathrm{Card}(T)=1\)

C.\(\mathrm{Card}(S)=2\)且\(\mathrm{Card}(T)=2\)

D.\(\mathrm{Card}(S)=2\)且\(\mathrm{Card}(T)=3\)


cover正确的答案是D.

注意到\[g(x)=\begin{cases}x^3\left(\dfrac 1x+a\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+b\cdot\dfrac{1}{x}+c\right),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}\]即\[g(x)=\begin{cases}x^3f\left(\dfrac 1x\right),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}\]于是\[T=\left\{\dfrac 1x\left|\right.x\in S\land x\neq 0\right\}\]于是\(\mathrm{Card}(T)\leqslant\mathrm{Card}(S)\),且\(\mathrm{Card}(T)\)最多比\(\mathrm{Card}(S)\)小\(1\)(取决于\(S\)中是否包含\(0\)),于是选\(D\).

接下来给出选项A、B、C的构造:

A.\(f(x)=x^3\),\(a=b=c=0\)

B.\(f(x)=(x-1)^3\),\(a=-1,b=-2,c=1\)

C.\(f(x)=(x-1)(x-2)^2\),\(a=-1,b=-4,c=4\)

点评    构造映射是比较集合中元素个数多少的重要方法.

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