题目的灵感来自游戏 icube（并且有理由怀疑这个游戏的灵感来自于苹果旗舰店）．
想象把一个半径为\(1\)的单位球放进一另一个半径为\(r\)（\(r>0\)）的大球中滚动，那么大球内壁中的任何一个点都可以被小球碾压，也就是对球体而言，表面（面积为\(S=4\pi r^2\)）上安全的区域面积\(P\)为\(0\)，于是我们说半径为\(r\)的球的安全系数\[\lambda (r)=\dfrac {P}{S}=0.\]
而棱长为\(a\)的正方体安全系数会好一些，为\[\lambda (a)=4\cdot\dfrac{a-1}{a^2},a>2,\]现在的问题是，相同表面积的正方体和正四面体，哪个安全系数高一些？
2015年全国高中数学联合竞赛A卷二试第1题：
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)（\(n\geqslant 2\)）是实数，证明：可以选取\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}\)，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\]
正弦型函数\(y=A\sin(\omega x+\varphi)+B\)中最富有变化的参数是\(\omega\)，\(\omega\)的变化相当于弹簧的压缩（\(\omega>1\)）或拉伸（\(\omega<1\)），其中函数图象与\(y\)的交点为弹簧的固定点，各点到\(y\)轴的距离成比例变化．
从图象伸缩的角度可以对正弦型函数中的参数\(\omega\)有更直观的认识，有时可以大大简化计算：
2015年全国高中数学联合竞赛A卷第７题：
设\(\omega\)为正实数，若存在\(a,b\)（\(\mathrm{\pi}\leqslant a<b\leqslant 2\mathrm{\pi}\)），使得\(\sin\omega a+\sin\omega b=2\)，则\(\omega\)的取值范围是_______．
2013年高考浙江卷理科数学第17题（填空压轴题）：
设\(a\in\mathcal R\)，若\(x>0\)时均有\(\left[(a-1)x-1\right]\left(x^2-ax-1\right)\geqslant 0\)，则\(a=\)_______．
2013年全国高中数学联赛江西省预赛第12题：
试确定，是否存在\(1,2,3,\cdots,2013\)的一个以\(2013\)结尾的排列，从第二项起，每一项与前一项的差的绝对值不是\(20\)就是\(13\)？证明你的结论． 继续阅读
一、填空题 本小题共8小题，每小题8分，满分64分．
1、设\(a,b\)是不相等的实数，若二次函数\(f(x)=x^2+ax+b\)满足\(f(a)=f(b)\)，则\(f(2)\)的值为_______． 继续阅读
2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题：
从集合\(\{1,2,3,\cdots,30\}\)中取出\(5\)个不同的数，使这五个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为_______．
在正三角形\(ABC\)的底边\(BC\)上取中点\(M\)，在与底边\(BC\)相邻的两条边\(BA\)和\(CA\)上分别取点\(P\)、\(Q\)，若线段\(PQ\)对\(M\)的张角\(\angle PMQ\)为锐角，则称点\(P\)、\(Q\)亲密．若点\(P\)、\(Q\)在\(BA\)、\(CA\)上的位置随机均匀分布，则\(P\)、\(Q\)亲密的概率称为正三角形的亲密度．试求正三角形的亲密度．
