在正三角形\(ABC\)的底边\(BC\)上取中点\(M\)，在与底边\(BC\)相邻的两条边\(BA\)和\(CA\)上分别取点\(P\)、\(Q\)，若线段\(PQ\)对\(M\)的张角\(\angle PMQ\)为锐角，则称点\(P\)、\(Q\)亲密．若点\(P\)、\(Q\)在\(BA\)、\(CA\)上的位置随机均匀分布，则\(P\)、\(Q\)亲密的概率称为正三角形的亲密度．试求正三角形的亲密度．
正确答案是\(\dfrac {6-3\ln 3}{4}\)，约为\(0.676\)．
解 不妨设\(AB=BC=CA=2\)，记\(BP=x\)，\(0\leqslant x\leqslant 2\)．
过\(M\)作\(PM\)的垂线，交\(AC\)于\(R\)，则当\(Q\)落在线段\(AR\)内部及\(A\)点上时，\(P\)与\(Q\)是亲密的．记\(AR\)的长度为\(y=f(x)\)．
由\[PM^2+MR^2=RP^2,\]及余弦定理得\[\left(x^2-x+1\right)+\left[(2-y)^2-(2-y)+1\right]=(2-x)^2-(2-x)y+y^2,\]整理得\[y=\dfrac{3x}{1+x},\]因此正三角形的亲密度为\[\dfrac 14\int_{0}^{2}\dfrac{3x}{1+x}{\mathrm d}x=\dfrac{6-3\ln 3}4.\]
接下来，直觉上我们知道正方形的亲密度一定比正三角形低，那么具体的数值是多少呢？留给读者作练习吧！
答案 \(\dfrac{3-2\ln 2}4\)，约为\(0.403\)．
注 有趣的是，我们很容易证明正三角形的亲密度大于\(0.5\)，而正方形的亲密度小于\(0.5\)．