已知函数\(f(x)=\ln x-ax^2\)，其中\(a>0\)．若存在\(x_1,x_2\in [1,3]\)，且\(x_1-x_2\geqslant 1\)，使得\(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\)，求证：\(\dfrac{\ln 3-\ln 2}{5}\leqslant a\leqslant \dfrac{\ln 2}{3}\)．
含有可变参数\(\lambda\)的方程\(F_{\lambda}\left(x,y\right)=0\)表示的一系列曲线，我们称之为曲线系．曲线系可以看做是曲线随着可变参数的变化而运动所形成的图形．如平行直线系\(2x-y+\lambda=0\)表示所有斜率为\(2\)的直线；同心圆系\(x^2+y^2=\lambda^2\)表示圆心在原点的所有圆（原点看作特殊的圆）．探索曲线系（以直线系和圆系最为常见）中是否存在某种特殊图形是高考中经常考查的重点和难点．解决此类问题的关键是准确理解曲线系的形成过程，从而把握曲线系的性质．
已知圆\(M\)：\((x+\cos \theta)^2+(y-\sin\theta)^2=1\)，直线\(y=kx\)，下面四个命题：
① 对任意实数\(k\)与\(\theta\)，直线\(l\)和圆\(M\)相切；
② 对任意实数\(k\)与\(\theta\)，直线\(l\)和圆\(M\)有公共点；
③ 对任意实数\(\theta\)，必存在实数\(k\)，使得直线\(l\)和圆\(M\)相切；
④ 对任意实数\(k\)，必存在实数\(\theta\)，使得直线\(l\)与圆\(M\)相切．
其中真命题的代号是______．（写出所有真命题的代号）
一 到定点的距离相等形成的圆弧
题1 如图，直角梯形\(ABCD\)中，\(\angle BAD=\angle ADC=90^\circ\)，\(AD=CD=\dfrac 12AB=4\)，点\(P\)是线段\(AD\)上的一动点，将\(\triangle ABP\)沿\(BP\)翻折到\(\triangle A'BP\)，连接\(A'C\)，\(A'D\)． （1）当点\(P\)在\(AD\)上运动时，求\(A'C\)的最小值； （2）当点\(P\)在\(AD\)上运动时，求\(A'D\)的最小值； （3）当点\(P\)在\(AD\)上运动时，求\(A'C+A'D\)的最小值． 
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已知点\(A(-1,1)\)，若曲线\(G\)上存在两点\(B,C\)，使得三角形\(ABC\)为正三角形，则称\(G\)为\(T\)型曲线．给定下列三条曲线：
① \(y=-x+3(0\leqslant x\leqslant 3)\)；
② \(y=\sqrt{2-x^2}(-\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 0)\)；
③ \(y=-\dfrac{1}{x}(x>0)\)．
则其中是\(T\)型曲线的为________．
2012年高考辽宁卷理科数学第21题（压轴题）：
设\(f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+ax+b\)，其中\(a,b\in\mathcal R\)，\(a,b\)是常数，曲线\(y=f(x)\)与直线\(y=\dfrac 32 x\)在\((0,0)\)点相切．
（1）求\(a,b\)的值；
（2）证明：当\(0<x<2\)时，\(f(x)<\dfrac{9x}{x+6}\)．
定义 一般地，对于定义在区间\(D\)上的函数\(y=f(x)\)，若存在\(x_0\in D\)，使得\(f(x_0)=x_0\)，则称\(x_0\)是函数\(y=f(x)\)的一阶不动点，简称不动点；若存在\(x_0\in D\)，使\(f(f(x_0))=x_0\)，则称\(x_0\)是函数\(y=f(x)\)的二阶不动点，简称稳定点． 继续阅读
大家应该对这样一道平面轨迹问题不陌生：
已知\(m\)、\(n\)是互相垂直于点\(O\)的两条直线，长度为\(l\)的线段\(PQ\)的端点\(P\)、\(Q\)分别在直线\(m\)、\(n\)上滑动，求线段\(PQ\)中点的点的轨迹．
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得\(OM=\dfrac 12PQ\)为定值，于是\(M\)的轨迹是以\(O\)为圆心，\(\dfrac 12l\)为半径的圆．
现在思考这个问题的空间版本：
已知\(m\)、\(n\)是异面垂直且距离为\(d\)的两条直线，长度为\(l\)的线段\(PQ\)的端点\(P\)、\(Q\)分别在直线\(m\)、\(n\)上滑动，求线段\(PQ\)中点的点的轨迹．
在处理含有参数的导数问题时，通常的作法都是用参数表示所求式子中的零点、极值点、极值等等．但有时直接用参数表示有困难、或者无法用参数表示时，也可能考虑转化变量，但此时一定要注意新设变量的取值范围．
已知函数\(f(x)=x^2+a\ln (x+1)\)有两个相异极值点\(x_1\)、\(x_2\)，且\(x_1<x_2\)，求证：\(0<\dfrac{f\left(x_2\right)}{x_1}<-\dfrac 12+\ln 2\)．
估计函数的零点分布是高中数学中常常遇到的问题．在高一的时候，我们通常利用零点的存在性定理进行范围估计，而当我们学习了导数以后，可以更进一步的研究一些深层的细节．
已知函数\(f(x)=x-{\rm e}^{\frac xa}\)（\(a>0\)）有两个相异零点\(x_1\)、\(x_2\)且\(x_1<x_2\)，求证：\(\dfrac{x_1}{x_2}<\dfrac{\rm e}a\)．
