已知正方形\(ABCD\)和等腰\(\mathrm{Rt}\triangle BEF\)，\(BE=EF,\angle BEF=90^\circ\)，按图1放置，使点\(F\)在\(BC\)上，取\(DF\)的中点\(G\)，连接\(EG,CG\)．现将图1中\(\triangle BEF\)绕\(B\)点转动任意角，如图2所示．探究\(EG,CG\)的数量关系和位置关系并证明．
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每日一题[357]构造函数
已知$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f'(x)>-2$，则不等式$$f(x-1)<x^2\left(3-2\ln x \right) +3(1-2x)$$的解集是_______．
每日一题[356]算两次
某次测试成绩满分为$150$分，设$n$名学生的得分分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$（$a_i\in\mathcal{N}$，$1\leqslant i\leqslant n$），$b_k$（$1\leqslant k\leqslant 150$）为$n$名学生中得分至少为$k$分的人数．设$M$为$n$名学生的平均成绩，记$N=\dfrac {b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$，则$M$与$N$的大小关系为__________．
对《还是熟悉的配方，还是原来的味道》的思考
本文作者我爱数学，由meiyun编辑修改．
近读《数海拾贝》上的一篇文章《还是熟悉的配方，还是原来的味道》，受益匪浅，但又觉得意犹未尽，作了如下思考．原文的例题1如下：
已知点\(P(x,y)\)为曲线\(xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0\)上一点，求\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)的最小值．
每日一题[355]代数与几何结合解决整点问题
在平面直角坐标系中，如果\(x\)和\(y\)都是整数，就称点 \((x,y)\) 是整点，下列命题中正确的是_____(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果 \(k\) 与 \(b\) 都是无理数，则直线 \(y=kx+b\) 不经过任何整点；
③直线 \(l\) 经过无穷多个整点，当且仅当 \(l\) 经过两个不同的整点；
④直线 \(y=kx+b\) 经过无穷多个整点的充分必要条件是：\(k\) 与 \(b\) 都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
四点共圆填空一道
如图，在菱形\(ABCD\)中，\(\angle B=60^\circ\)，\(AB=4\)，点\(E\)在\(BC\)上，\(BE=3CE\)，点\(F\)在\(DE\)上，\(\angle AFC=120^\circ\)，\(EF>EC\)，则\(DF=\)_____．
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每日一题[354]新定义数列
若数列$\{a_n\}$满足：对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，只有有限个正整数$m$使得$a_m<n$成立，记这样的$m$的个数为$(a_n)^*$，则得到一个新数列$\left\{(a_n)^*\right \}$．例如，若数列$\{a_n\}$是$1,2,3,\cdots,n,\cdots$，则数列的$\{(a_n)^*\}$是$0,1,2,\cdots,n-1,\cdots$．已知对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，$a_n=n^2$，则$(a_5)^*=$_____，$\big((a_n)^*\big)^*=$_____．
练习题集[35]基础练习
1、设$a,b,c\in\mathcal R^+$，且$ab+bc+ca=1$，证明下列不等式：
（1）$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\geqslant 3\sqrt 3$；
（2）$abc(a+b+c)\leqslant \dfrac 13$．
每日一题[353]取整函数
设函数$f(x)=\dfrac {a^x}{1+a^x}$（$a>0$且$a\ne 1$），$[m]$表示不超过实数$m$的最大整数，则函数$\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$的值域是_____．
任你变幻莫测，我有我的方法
如图，\(D\)为\(\triangle ABC\)内一点，满足\(\angle ABC=\angle BCD=30^\circ\)，\(\angle ABD=\angle ACD\)，\(BD=7\sqrt 3\)，\(AC=5\sqrt 3\)，求\(AD\)的长．
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